Projektive Auflösung

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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition[Bearbeiten]

Es seien C eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und A ein Objekt aus C. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0

projektive Auflösung von A, wenn sämtliche P_i projektiv sind.[1][2]

Existenz[Bearbeiten]

Ist in der abelschen Kategorie C jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt X\in \operatorname{Ob}(C) einen Epimorphismus P\rightarrow X, in dem P projektiv ist, so sagt man auch, C besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt A eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus p_0\colon P_0\rightarrow A, dann weiter ein Epimorphismus p_1\colon P_1\rightarrow \operatorname{ker}(p_0) auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname{ker}(p_n).

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie \mathrm{Mod}_R der (Links-)Moduln über einem Ring R. Ist A ein solcher Modul und ist (a_i)_{i\in I} ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus R^I\rightarrow A, indem man das i-te Basiselement des freien Moduls R^I auf a_i abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist A Quotient eines projektiven Moduls und damit hat \mathrm{Mod}_R genügend viele projektive Objekte. [3]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist

\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0

eine projektive Auflösung und

\cdots\rightarrow A'_2\rightarrow A'_1\rightarrow A'_0\rightarrow A'\rightarrow 0

exakt, so lässt sich jeder C-Homomorphismus f:A\rightarrow A' (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

\begin{matrix} 
\cdots\rightarrow & P_2 & \rightarrow & P_1 & \rightarrow & P_0 & \rightarrow & A & \rightarrow 0 \\
 \cdots & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
\cdots\rightarrow & A'_2 & \rightarrow & A'_1 & \rightarrow & A'_0 & \rightarrow & A' & \rightarrow 0 
  \end{matrix}

ergänzen.[4]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen
  2. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5
  3. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7
  4. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung