Freier Modul

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein freier Modul ein Modul, der eine Basis besitzt. Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Eine Familie  (b_i \mid i\in I) von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls)  F heißt frei, oder linear unabhängig, wenn für jede endliche Indexmenge  \textstyle J\subseteq I gilt:

 0=\sum_{i\in J} r_i \cdot b_i \,\Longrightarrow\,  \forall i\in J\colon r_i=0.

Erzeugen die \{ b_i \mid i \in I \} zugleich den Modul  F , so heißt (b_i \mid i \in I) eine Basis und der Modul  F heißt frei.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Erste Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten]

  1. Jeder Ring ist über sich selbst frei. Das heißt  R_R ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist  _RR  ein freier Linksmodul.
  2. Ist  1<n \in \N  , so ist der \Z-Modul  \Z/n\Z nicht frei. Der \Z-Modul  \Q ist torsionsfrei, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
  3. Ist n eine natürliche Zahl, so ist  R^n =\{\begin{pmatrix} r_1,\dots, r_n\end{pmatrix}\mid r_1,\dots r_n \in R\} ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie  (e_i \mid i \in \{1,\dots, n\}). Dabei ist die i-te Komponente von  e_i gleich  1 , alle anderen Komponenten sind 0. Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter. Ist I eine beliebige Menge, und  (F_i|i \in I) eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt \bigoplus_{i \in I}F_i genau dann frei, wenn alle  F_i frei sind. Insbesondere ist  R^{(I)} frei.
  4. Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise  \Z^{\N} nicht frei.[1]
  5. Der Polynomring  \textstyle R[X] über dem Ring  R ist ein freier Modul mit Basis  (X^i |i \in \N) .
  6. Die Menge der positiven rationalen Zahlen  \Q^{+} ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes  r \in \Q^{+} eindeutig schreiben  r=p_1^{z_1}\cdots p_n^{z_n} mit Primzahlen  p_1, \dots, p_n . Es ist also  \Q^{+} eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
  7. Der Ring  R ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

Der Rang eines freien Moduls[Bearbeiten]

Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:

  1. Ist  \textstyle V ein Vektorraum über dem Körper  K mit einer Basis von  \textstyle n Elementen, so ist jedes System von  \textstyle n freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im \Z-Modul \Z die Menge  \textstyle \{2\}  frei, aber keine Basis.
  2. Ist V ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring  R kommutativ und  R^n \cong R^m , so ist  n=m . Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer.[2] Über nicht kommutativen Ringen ist der Satz im Allgemeinen falsch. In dem genannten Buch ist ein Beispiel hierzu angegeben. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen IBN-Ringe.[3] Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
  3. Es gilt allgemeiner: Ist  \rho \colon R \rightarrow S ein Homomorphismus von Ringen und ist  S ein IBN-Ring, so auch  R . Gibt es also beispielsweise von  R einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring  S , so ist  R ein IBN-Ring.

Eigenschaften freier Moduln[Bearbeiten]

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten]

  1. Ist  (m_i|i \in I) eine Familie von Elementen aus dem Modul  M , so gibt es genau einen Homomorphismus  R^{(I)}= \oplus_{i \in I}R e_i \rightarrow M mit  f(e_i)  = m_i . Dabei ist  (e_i|i \in I)  eine Basis (im Zweifel die kanonische ) von  R^{(I)} . Erzeugt die Familie  (m_i|i \in I) den Modul  M , so ist  f ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
  2. Ist  F ein freier Modul und  f\colon M \rightarrow F ein Epimorphismus, so ist  \operatorname{Kern}(f) direkter Summand in  M . Es gibt ein  g\colon F \rightarrow M mit  f\circ g = \mathbf{1}_F .
  3. Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge  X gehört der freie Modul  \mathbf{F}(X):= R^{(X)} und die kanonische injektive Abbildung  \Phi(X)\colon X \ni x \mapsto e_x \in R^{(X)} . Ist  Y eine weitere Menge und  \alpha\colon X \rightarrow Y eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie  (e_{\alpha(x)}| x\in X) genau einen Homomorphismus  \mathbf{F}(\alpha)\colon \mathbf{F}(X) \rightarrow \mathbf{F}(Y) , so dass  \mathbf{F}(\alpha) \circ \Phi(X)= \Phi(Y) \circ \alpha gilt. Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ:
    Funktorinfreiesobjekt.png
    Sind  \alpha\colon X \rightarrow Y\, \beta\colon Y \rightarrow Z Abbildungen, so ist  \mathbf{F}(\alpha \circ \beta) = \mathbf{F}(\alpha) \circ \mathbf{F}(\beta) . In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich das so ausdrücken:  \mathbf{F} ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln.  \Phi ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor  \mathbf{F} .
  4. Wie in 3. gehört zu jedem Modul  M der freie Modul  F(M) = R^{(M)}=\oplus_{m \in M}R e_m . Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus  \Psi(M):F(M) \ni e_m\mapsto m \in M . Für alle  \alpha\colon M \rightarrow N ist  \Psi(N)\circ F(\alpha)= \alpha\circ \Psi(N) . Es ist  \Psi ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor  \mathbf{F} und dem Identitätsfunktor.

Freie Moduln über besondere Ringen[Bearbeiten]

  1. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
  2. Über lokalen Ringen sind alle direkte Summanden von freien Moduln (das sind projektive Moduln) frei.

Konstruktion[Bearbeiten]

Zu jeder Menge S und jedem Ring R gibt es den freien R-Linksmodul FS über S. Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von S-Elementen, kodiert etwa als FS := \{v\colon S \to R \mid \{s\in S \mid v(s) \neq 0\} \text{ endlich}\}. Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:

  • +\colon FS\times FS \to FS; (v+w)(s) := v(s)+w(s);
  • \cdot\colon R\times FS \to FS; (r\cdot v)(s) := r\cdot v(s).

Die Elemente von S sind hierbei keine Elemente von FS, sie lassen sich aber einbetten mittels

  • \eta_S\colon S \to FS; \eta_S(s)(s') := \begin{cases}1 & s=s' \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases}

Der freie R-Rechtsmodul ist der freie R^\text{op}-Linksmodul, wobei R^\text{op} den Gegenring von R bezeichnet.

Abschwächungen[Bearbeiten]

Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls M über einem kommutativen Ring A mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:

Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.
  2. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra, Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X, Seite 165
  3. Siehe hierzu den Artikel en:Invariant basis number