Freier Modul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe.

Definition

Eine Familie $\textstyle (e_i|i\in I)$ von Elementen eines Moduls $F$ heißt frei, oder linear unabhängig, wenn für jede endliche Indexmenge $\textstyle J\subseteq I$ gilt:

$0=\sum_{i\in J} e_i\cdot r_i \,\Longrightarrow\, \forall i\in J\colon r_i=0.$

Erzeugen die $\textstyle \{ e_i |i \in I \}$ zugleich den Modul $F$, so heißt $\textstyle (e_i| i \in I)$ eine Basis und der Modul $F$ heißt frei.

Anmerkungen

Erste Beispiele und Gegenbeispiele

1. Jeder Ring ist über sich selbst frei. Das heißt $R_R$ ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist $_RR$ ein freier Linksmodul.
2. Ist $1<n \in \N$, so ist $\Z/n\Z$ nicht frei. Die abelsche Gruppe $\Q$ ist torsionsfrei aber nicht frei.
3. Ist n eine natürliche Zahl und $R^n =\{\begin{pmatrix} r_1,\dots, r_n\end{pmatrix}| r_1,\dots r_n \in R\}$ ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie $(e_i|i \in \{1,\dots, n\})$. Dabei ist die $i$te Komponente von $e_i$ gleich $1$. Alle anderen Komponenten sind 0. Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter. Ist I eine beliebige Menge, und $(F_i|i \in I)$ eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt $\quad\oplus_{i \in I}F_i$ genau dann frei, wenn alle $F_i$ frei sind. Insbesondere ist $R^{(I)}$ frei.
4. Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im allgemeinen keineswegs frei. So ist $\Z^{\N}$ nicht frei. Einen schönen Beweis dieser keineswegs trivialen Tatsache findet man in dem Buch von T.Y. Lam auf Seite 22 und folgende.
5. Der Polynomring $\textstyle R[X]$ über dem Ring $R$ ist eine freier Modul mit Basis $(X^i |i \in \N)$.
6. Die Menge der positiven rationalen Zahlen $\Q^{+}$ ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes $r \in \Q^{+}$ eindeutig schreiben $r=p_1^{z_1}\cdots p_n^{z_n}$ mit Primzahlen $p_1, \dots, p_n$. Es ist also $\Q^{+}$ eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
7. Der Ring $R$ ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

Der Rang eines freien Moduls

Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:

1. Ist $\textstyle V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ mit einer Basis von $\textstyle n$ Elementen, so ist jedes System von $\textstyle n$ freien Elementen eine Basis. Über dem Ring $\textstyle \Z$ gilt dies nicht. So ist $\textstyle \{2\}$ frei aber keine Basis von $\Z$.
2. Ist V ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring $R$ kommutativ und $R^n \cong R^m$, so ist $n=m$. Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer. . Über nicht kommutativen Ringen ist der Satz im allgemeinen falsch. In dem genannten Buch ist ein Beispiel hierzu angegeben. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind heißen IBN Ringe. Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
3. Es gilt allgemeiner: Ist $\rho \colon R \rightarrow S$ ein Homomorphismus von Ringen und ist $S$ ein IBN Ring, so auch $R$. Gibt es also beispielsweise von $R$ einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring $S$, so ist $R$ ein IBN Ring.

Eigenschaften freier Moduln

Allgemeine Eigenschaften

1. Ist $(m_i|i \in I)$ eine Familie von Elementen aus dem Modul $M$, so gibt e genau einen Homomorphismus $R^{(I)}= \oplus_{i \in I}e_i R \rightarrow M$ mit $f(e_i) = m_i$. Dabei ist $(e_i|i \in I)$ eine Basis (im Zweifel die kanonische ) von $R^{(I)}$. Erzeugt die Familie $(m_i|i \in I)$ den Modul $M$, so ist $f$ ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
2. Ist $F$ ein freier Modul und $f\colon M \rightarrow F$ ein Epimorphismus, so ist $\operatorname{Kern}(f)$ direkter Summand in $M$. Es gibt ein $g\colon F \rightarrow M$ mit $f\circ g = \mathbf{1}_F$.
3. Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge $X$ gehört der freie Modul $\mathbf{F}(X):= R^{(X)}$ und die kanonische injektive Abbildung $\Phi(X)\colon X \ni x \mapsto e_x \in R^{(X)}$. Ist $Y$ eine weitere Menge und $\alpha\colon X \rightarrow Y$ eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie $(e_{\alpha(x)}| x\in X)$ genau einen Homomorphismus $\mathbf{F}(\alpha)\colon \mathbf{F}(X) \rightarrow \mathbf{F}(Y)$, so dass $\mathbf{F}(\alpha) \circ \Phi(X)= \Phi(Y) \circ \alpha$ gilt. Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ:
   
   Sind $\alpha\colon X \rightarrow Y\, \beta\colon Y \rightarrow Z$ Abbildungen, so ist $\mathbf{F}(\alpha \circ \beta) = \mathbf{F}(\alpha) \circ \mathbf{F}(\beta)$. Für diejenigen, welche die Sprache der Kategorien lieben: $\mathbf{F}$ ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. $\Phi$ ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor $\mathbf{F}$.
4. Wie in 3. gehört zu jedem Modul $M$ der freie Modul $F(M) = R^{(M)}=\oplus_{m \in M}e_mR$. Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus $\Psi(M):F(M) \ni e_m\mapsto m \in M$. Für alle $\alpha\colon M \rightarrow N$ ist $\Psi(N)\circ F(\alpha)= \alpha\circ \Psi(N)$. Es ist $\Psi$ ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor $\mathbf{F}$ und dem Identitätsfunktor.

Freie Moduln über besondere Ringen

1. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
2. Über lokalen Ringen sind alle direkte Summanden von freien Moduln (das sind projektive Moduln) frei.

Abschwächungen

Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls $M$ über einem kommutativen Ring $A$ mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:

Siehe auch

• Basis (Vektorraum)
• Projektives Objekt
• fr:Module libre

Literatur

Lehrbuchliteratur

• Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings, GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3
• Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart, 1977, ISBN 3-519-02211-7
• Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie., Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.