Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

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Das Reflexionsprinzip ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Die Kernaussage lautet, dass es keinen in der Sprache der Mengenlehre formulierbaren Satz über das Mengenuniversum gibt, der nicht bereits in einer geeigneten Menge „gespiegelt“ (siehe unten) würde, woraus sich der Name Reflexionsprinzip erklärt. Der Satz geht auf Richard Montague (1957) und Azriel Levy (1960) zurück.

Formulierung[Bearbeiten]

Wir betrachten die Stufen V_\alpha der Von-Neumann-Hierarchie. Ist \varphi eine Formel der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das heißt eine aus Variablen für Mengen und den Symbolen \in, =, \neg, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \exists, \forall korrekt aufgebaute Aussage, so sagt man V_\alpha spiegele \varphi, wenn das durch x\in V_\alpha definierte Prädikat die Aussage \varphi spiegelt, diese Begriffe sind im Artikel Relativierung (Mengenlehre) erklärt.

Es gilt nun das sogenannte

Reflexionsprinzip[1][2]
Ist \varphi eine mengentheoretische Formel, so gibt es eine Ordinalzahl \alpha, so dass \varphi von V_\alpha gespiegelt wird.

In einprägsamer Kurzform lautet das Reflexionsprinzip: Zu jedem Satz gibt es bereits eine Menge, die ihn spiegelt. Diese Menge kann als Stufe V_\alpha der von-Neumann-Hierarchie gewählt werden. Man kann zeigen, dass man \alpha als Limes-Ordinalzahl wählen kann. Es gilt sogar die für den Beweis wesentliche Verschärfung, dass die Klasse aller Ordinalzahlen \alpha, so dass \varphi von V_\alpha gespiegelt wird, beliebig große club-Mengen enthält.

Bedeutung[Bearbeiten]

  • Jeder im Mengenuniversum wahre Satz ist bereits in einer Menge V_\alpha wahr. Es gibt also keinen in der mengentheoretischen Sprache formulierbaren Satz, der das Mengenuniversum von allen Mengen unterscheidet. Ebbinghaus schreibt daher in seinem unten zitierten Lehrbuch, dass das Mengenuniversum in diesem Sinne „unbeschreiblich groß“ sei.
  • Betrachtet man ZF ohne Unendlichkeits- und Ersetzungsaxiom so ist das Reflexionsprinzip gerade äquivalent zu diesen. Das Scottsche Axiomensystem für ZF wählt dieses Reflexionsprinzip als Axiomenschema.
  • Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist nicht endlich axiomatisierbar. (Man beachte, dass das Ersetzungsaxiom kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von unendlich vielen Axiomen ist.) Eine endliche Menge von Axiomen könnte mittels \land zu einer Aussage verknüpft werden, und diese würde bereits durch eine Menge gespiegelt, das heißt man könnte in ZF die Existenz eines Modells für ZF zeigen, was ein Widerspruch zum Zweiten Unvollständigkeitssatz wäre[3].

Verstärkung[Bearbeiten]

Das Reflexionsprinzip gilt auch für Verallgemeinerungen der von-Neumann-Hierarchie. Ist W eine beliebige Klasse und \langle W_\alpha\mid\alpha\in Ord\rangle eine durch eine Formel definierte Folge von transitiven Mengen mit

so gibt es für jede Formel \varphi ein \alpha\in Ord, sodass \varphi^W\leftrightarrow\varphi^{W_\alpha} gilt. Die Verstärkung ist unter anderem auf die konstruierbare Hierarchie L_\alpha anwendbar, und kann verwendet werden um nachzuweisen, dass in L das Aussonderungsaxiom gilt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, 2.1
  2. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.14
  3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Bemerkungen zu Theorem 12.14