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Die Regel von de l’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert von Funktionen selbst dann noch zu bestimmen, wenn deren Funktionsterm beim Erreichen der betreffenden Grenze einen unbestimmten Ausdruck wie etwa
liefert. Alle Anwendungen der Regel lassen sich dabei auf die Grundaufgabe zurückführen, den Grenzwert zu bestimmen, wenn dessen Zähler- und Nennerterm und entweder beide null oder beide unendlich werden, der Quotient also ein unbestimmter Ausdruck des Typs oder ist. Die Regel von de l’Hospital besagt dann, dass, falls der Grenzwert existiert, dieser zugleich der Grenzwert sei, wobei und hier die ersten Ableitungen der Funktionen und sein sollen.
Die Umkehrung der Regel dagegen gilt nicht: Daraus, dass der Grenzwert existiert, folgt nicht zwingend, dass auch existiert. Liefert deshalb die Berechnung von zunächst einmal wieder einen unbestimmten Ausdruck, müssen Zähler- und Nennerterm erneut abgeleitet werden, bis sich schließlich, ggf. nach endlich vielen Wiederholungen, ein bestimmter Ausdruck ergibt.
Liefert die Ausgangsfunktion einen anderen als die og. unbestimmten Ausdrücke bzw. , z. B. oder , muss sie zuvor so umgeformt werden, dass sie die og. Kriterien erfüllt, also als Quotient zweier Funktionen erscheint, die beide gleichzeitig null oder unendlich werden [5]:
Beispiel 1
Beispiel 2
Präzise Formulierung
Sei ein nichtleeres offenesIntervall und seien differenzierbare Funktionen, die für ( geht von unten gegen ) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.
Wenn für alle gilt sowie für gegen einen Wert konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch . Analoges gilt, wenn man überall durch ( geht von oben gegen ) ersetzt.
Ist echte Teilmenge eines offenen Intervalls, auf dem die genannten Voraussetzungen erfüllt sind, gilt also insbesondere
.
Der Satz gilt auch für uneigentliche Intervallgrenzen .
Beweisskizze
Im Fall lassen sich die Funktionen und an der Stelle durch stetig fortsetzen. Der Satz lässt sich damit auf den erweiterten Mittelwertsatz zurückführen, nach dem unter den gegebenen Voraussetzungen für jedes ein zwischen und existiert, so dass
.
Mit dem Grenzübergang folgt die Behauptung.
Durch Variablentransformation lässt sich der Satz auf den uneigentlichen Fall erweitern.
Anschauliche Erklärung
Die Regel von de l’Hospital beruht ihrem Prinzip nach darauf, dass jedes an einer Stelle x0differenzierbare Funktionspaar f(x) und g(x) sich damit ebenda auch durch ihr dortiges Tangentenpaar annähern lässt, dessen Gleichungen sich in allgemeinster Form (mit x0 als Parameter) wie folgt formulieren lassen:
und
In der Konsequenz muss gleiches dann auch für den Quotienten beider Funktionen f(x)/g(x) gelten, d.h. auch dieser sich für x→x0 durch den Quotienten fT(x|x0)/gT(x|x0) annähern lassen:
Werden in diesem Quotienten die beiden Konstanten f(x0) und g(x0) gleichzeitig Null, vereinfacht er sich, wie nachstehend gezeigt, sukzessive zu der gesuchten Näherung:
Vorausgesetzt, dass f(x0) und g(x0) an der Stelle x0 gleichzeitig Null werden, kann ihr Quotient f(x0)/g(x0) also ebenda gleichgut durch den Quotienten f'(x0)/g'(x0) ersetzt werden:
Anwendungsbeispiele
Grenzübergang bei x0=0
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Dazu setzt man und . Es gilt
und .
Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, darf die Regel von de l’Hospital angewandt werden. Nun gilt
für .
Somit ist die Hospitalsche Regel anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von mit Grenzwert 0.
Grenzübergang im Unendlichen
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Man setzt und . Sowohl als auch sind bestimmt divergent.
Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von de l’Hospital angewandt werden. Nun gilt
für ,
das heißt, ist bestimmt divergent. Daher darf die Hospitalsche Regel angewandt werden. Aus ihr folgt die bestimmte Divergenz
.
Warnbeispiele
Beachtung der Voraussetzungen
Sei und . Für liegt der Fall vor.
Die Regel von de l’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn ist für unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Hospitalschen Regel konvergiert für . Es ist nämlich .
Landau-Kalkül
Wenn man den Grenzwert berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um kennt, ist es oft einfacher, den Grenzwert über den Landau-Kalkül zu bestimmen, als mehrfach die Regel von de l’Hospital anzuwenden.
So gilt beispielsweise für .
Verallgemeinerungen
Die Regel lässt sich auch für Funktionen mit komplexen Variablen formulieren. Sind und zwei in holomorphe Funktionen, welche an der Stelle dieselbe Nullstellenordnung haben. Dann gilt
.
Literatur
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.