Sätze von Cohen-Seidenberg

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als Going up und Going down bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen.

Situation[Bearbeiten]

Sei S\supset R eine Ringerweiterung zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind P\subset S und p\subset R Primideale, so sagt man P liege über p, falls p=P\cap R.

Ist P\subset S ein Primideal, so ist p:=R\cap P ein Primideal in R und P liegt über p. Ist P_0 \subset \ldots \subset P_n eine Primidealkette mit echten Inklusionen in S, so ist P_0\cap R \subset \ldots \subset P_n\cap R eine Primidealkette mit echten Inklusionen in R. Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in R zu solchen nach S "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in S über denen der gegebenen Kette in R liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in R stets Primideale aus S liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung \Q \supset \Z und ist \pi\in\Z eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal p=(\pi) ein Primideal und es gibt kein Primideal in \Q, das über p liegt. Handelt es sich bei S\supset R aber um eine ganze Ringerweiterung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus R stets ein Primideal aus S liegt.[1]

Ist also S\supset R eine ganze Ringerweiterung und p_0\subset \ldots \subset p_n eine Primidealkette in R, so kann man für jedes i ein über p_i liegendes Primideal P_i\subset S finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die P_i auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up[Bearbeiten]

Es sei S\supset R eine ganze Ringerweiterung, p_0\subset \ldots \subset p_n eine Primidealkette in R und das Primideal P_0 liege über p_0:


  \begin{array}{ccccccc} 
   P_0 &\\
    \downarrow &\\
    p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, .
  \end{array}

Dann gibt es über den p_i liegende Primideale P_i, i>0, die eine aufsteigende Kette bilden[2] :


  \begin{array}{ccccccc} 
   P_0 & \subset & P_1 & \subset & \ldots & \subset & P_n \\
    \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\
    p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, .
  \end{array}

Going down[Bearbeiten]

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über p_0 liegenden Primideal mit einem über p_n liegenden, so muss man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen stellen:

Es sei S\supset R eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem R, p_0\subset \ldots \subset p_n sei eine Primidealkette in R und das Primideal P_n liege über p_n:


  \begin{array}{ccccccc} 
   & & & & & & P_n\\
   & & & & & & \downarrow\\
    p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, .
  \end{array}

Dann gibt es über den p_i liegende Primideale P_i, i<n, die eine aufsteigende Kette bilden[3][4] :


  \begin{array}{ccccccc} 
   P_0 & \subset & P_1 & \subset & \ldots & \subset & P_n \\
    \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\
    p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, .
  \end{array}

Bedeutung[Bearbeiten]

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort \mathrm {dim}\, R = \mathrm {dim}\, S für eine ganze Ringerweiterung S\supset R. Der Going down-Satz kann verwendet werden, um

 \mathrm {dim}\, K[X_1,\ldots,X_n]=n

zu zeigen, wobei K[X_1,\ldots,X_n] der Polynomring in n Unbestimmten über dem Körper K ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.10 a
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Korollar II.2.12
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.16
  4. Jean-Pierre Serre: Local Algebra, Springer (2000), ISBN 3540666419, III Proposition 5