Satz von Cayley-Hamilton

Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Satz von Cayley-Hamilton

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum, $F\in \mathrm {End} (V)$ und $P_{F}\in K[t]$ sein charakteristisches Polynom. Dann ist

$P_{F}\left(F\right)=0\in \mathrm {End} (V)$.

Diese Gleichung ist als Gleichheit von Abbildungen aufzufassen. Insbesondere steht auf der rechten Seite der Gleichung die Nullabbildung und $\mathrm {End} (V)$ bezeichnet den Vektorraum aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$.

Insbesondere gilt also für jede Matrix $A\in K^{n\times n}$

$P_{A}(A)=0\in K^{n\times n}$.

Zusammengefasst kann also gesagt werden: Jede quadratische Matrix genügt ihrer charakteristischen Gleichung.

Folgerungen

Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

• Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl $n$ hat.
• Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix für Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
• Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
• Eine quadratische Matrix mit n-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr charakteristisches Polynom von der Form $\lambda ^{n}$ ist.

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

Verallgemeinerung

Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen. Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

Aussage

Es seien $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $M$ ein $R$-Modul, der von $n$ Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei $f$ ein Endomorphismus von $M$, für den

$f(M)\subseteq IM$

für ein Ideal $I\subseteq R$ gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom $p(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n}$ mit $a_{i}\in I^{i}$, so dass $p\left(f\right)=0$ gilt.

Beispiel

Es seien $R=\mathbb {Z}$ und $M=\mathbb {Z} ^{3}$ sowie $I=2\mathbb {Z}$ das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus $f$ sei definiert durch die Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&-2&6\\-2&-6&2\\4&-2&2\end{pmatrix}}$.

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt $f(M)\subseteq 2\mathbb {Z} \cdot M$. Das charakteristische Polynom von $f$ lautet

$P_{f}(t)=t^{3}+2t^{2}-44t-128$.

Dessen Koeffizienten 2, –44 und –128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

Weblinks

• 

  Wikiversity: Beweis des Satzes auf Wikiversity – Kursmaterialien

• Beweis des Satzes im Beweisarchiv

Quelle

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0.