Satz von Girsanow

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Satz von Girsanow benutzt um stochastische Prozesse zu verändern. Dies passiert mithilfe eines Maßwechsels von dem kanonischen Maß P zum äquivalenten Martingalmaß Q. Dieser Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin[1] und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz[Bearbeiten]

Sei \{\Omega,\mathcal{F},P,\{\mathcal{F}_t\}_{0 \leq t \leq T}\} ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses  ({B}_t)_{0 \leq t \leq T}. Sei (\theta_t)_{0 \leq t \leq T} ein adaptierter Prozess, so dass gilt \int_0^T \theta_s^2\,\mathrm ds< \infty    P-fast-sicher und der Prozess (L_t)_{0 \leq t \leq T} definiert durch

L_t= \exp \left( \int_0^t \theta_s\, \mathrm dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2\, \mathrm ds \right)

sei ein Martingal.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P^{(L)} mit der Dichte L_T bezüglich P, dass der Prozess (W_t)_{0 \leq t \leq T} definiert durch W_t = B_t - \int_0^t \theta_s \,\mathrm ds ein standardisierter Wiener-Prozess ist.[2]

Bemerkungen[Bearbeiten]

Der Prozess L_t ist das stochastische Exponential des Prozesses (X_t) mit \mathrm d X_t = \theta_t \, \mathrm d B_t, das heißt, er löst die stochastische Differentialgleichung \mathrm{d} L_t = \theta_t L_t \, \mathrm{d}B_t, L_0 = 1. Er ist stets ein nichtnegatives lokales Martingal, also auch ein Supermartingal. Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung, dass L_t tatsächlich ein Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung, so dass (L_t)_{0 \leq t \leq T} ein Martingal ist, lautet:

\operatorname{E} \left(\exp \left (\frac{1}{2} \int_0^T \theta_t^2\, \mathrm dt \right) \right) < \infty\,.

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Referenzen[Bearbeiten]

  1. [1]
  2. Rose-Anna Dana, Monique Jeanblanc: Financial Market in Continuous Time. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43403-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer, "Probabilités et potentiel -- Théorie des Martingales" Kapitel VII, Hermann 1980
  • Damien Lamberton und Bernard Lapeyre, "Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance", Kapitel IV S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6

Weblinks[Bearbeiten]