Stochastisches Exponential

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Drei Realisierungen eines Standard-Wiener-Prozesses (oben) und dessen stochastischen Exponentials (unten)

Ein stochastisches Exponential ist ein stochastischer Prozess, der im mathematischen Teilgebiet der stochastischen Analysis ein Analogon zur Exponentialfunktion der gewöhnlichen Analysis darstellt. Nach der französischen Mathematikerin Catherine Doléans-Dade wird es auch als Doléans-Dade-Exponential oder kurz als Doléans-Exponential bezeichnet.

Die Exponentialfunktion lässt sich dadurch charakterisieren, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Will man ein analoges Verhalten für die Exponentialfunktion eines stochastischen Prozesses erreichen, so muss wegen des Lemmas von Itō dessen quadratische Variation mitberücksichtigt werden, wenn diese wie beispielsweise beim Wiener-Prozess nicht verschwindet.

Stochastische Exponentiale spielen unter anderem eine wichtige Rolle bei der expliziten Lösung von stochastischen Differentialgleichungen und treten beim Satz von Girsanow auf, der das Verhalten stochastischer Prozesse bei einem Wechsel des Maßes beschreibt. Eine wichtige Fragestellung ist in diesem Zusammenhang, unter welchen Bedingungen ein stochastisches Exponential ein Martingal ist. Viele Modelle der Finanzmathematik beinhalten Prozesse, die stochastische Exponentiale sind, so zum Beispiel die geometrische brownsche Bewegung beim Black-Scholes-Modell.

Einführung[Bearbeiten]

Die Exponentialfunktion u(t) = \mathrm e^t ist eindeutig bestimmt durch die beiden Bedingungen u'(t) = u(t) und u(0) = 1. Etwas allgemeiner folgt mit der Kettenregel, dass u(t) = \mathrm e^{x(t) - x(0)} die eindeutig bestimmte Lösung der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung u'(t) = u(t) x'(t) mit der Anfangsbedingung u(0) = 1 ist.

Diese Zusammenhänge gelten bei stochastischen Differentialgleichungen in dieser einfachen Form nicht mehr, da hierbei die Kettenregel durch das Lemma von Itō ersetzt werden muss, das die quadratische Variation der Prozesse mit berücksichtigt. Ist beispielsweise (W_t) ein Standard-Wiener-Prozess, so ergibt sich für das Differential des Prozesses U_t = u(W_t) = \mathrm e^{W_t} wegen u = u' = u'' mit dem Itō-Lemma

\mathrm d U_t = \mathrm e^{W_t} \, \mathrm d W_t + \frac{1}{2} \mathrm e^{W_t} \, \mathrm dt = U_t \left(\mathrm d W_t + \frac{1}{2} \, \mathrm dt\right).

Der zusätzliche Term in dieser stochastischen Differentialgleichung lässt sich vermeiden, wenn anstelle der Exponentialfunktion der „korrigierte“ Ansatz U_t = \mathrm e^{W_t - \frac{1}{2}t} verwendet wird: Dann ergibt sich \mathrm d U_t = U_t \, \mathrm d W_t, analog zum Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen. Zudem ist nun der Prozess U wie der Wiener-Prozess ein Martingal.

Definition[Bearbeiten]

Es sei (X_t)_{t\in\R_+} ein Semimartingal. Dann heißt das (eindeutig bestimmte) Semimartigal U = (U_t)_{t\in\R_+}, das Lösung der stochastischen Differentialgleichung

\mathrm d U_t = U_{t-} \, \mathrm dX_t

mit Anfangsbedingung U_0 = 1 ist, das stochastische Exponential von X und wird mit \mathcal{E}(X) bezeichnet, d. h. \mathcal{E}(X)_t := U_t.

Mit U_{t-} wird dabei der linksseitige Grenzwert des Prozesses U an der Stelle t bezeichnet. Falls X stetig ist, so ist auch U stetig; es gilt dann U_{t-} = U_t.

Dass der Prozess U Lösung des genannten Anfangswertproblems ist, bedeutet explizit, dass er die Itō-Integralgleichung

U_t = 1 + \int_0^t U_{s-} \, \mathrm dX_s

erfüllt.

Explizite Darstellung und Rechenregeln[Bearbeiten]

Ist X ein stetiges Semimartigal, so hat das stochastische Exponential die explizite Darstellung

\mathcal{E}(X)_t = \mathrm e^{X_t - X_0 - \frac{1}{2}[X,X]_t},

wobei [X,X] die quadratische Variation von X bezeichnet.

Im allgemeinen Fall müssen zusätzlich die Sprungstellen von X berücksichtigt werden. Hier ergibt sich

\mathcal{E}(X)_t = \mathrm e^{X_t - X_0 - \frac{1}{2}[X,X]_t} \prod_{s \leq t} (1+\Delta X_s) \mathrm e^{-\Delta X_s + \frac{1}{2}(\Delta X_s)^2}

mit dem Sprungprozess \Delta X_s = X_s - X_{s-}.

Anstelle der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt für das stochastische Exponential von Semimartigalen X und Y die Rechenregel

\mathcal{E}(X)_t \mathcal{E}(Y)_t = \mathcal{E}(X + Y + [X,Y])_t.

Ist X stetig mit X_0 = 0, so gilt

(\mathcal{E}(X)_t)^{-1} = \mathcal{E}(-X + [X,X])_t.

Martingaleigenschaften[Bearbeiten]

Im Folgenden sei X ein stetiges Semimartingal und ohne Einschränkung gelte X_0 = 0, also \mathcal{E}(X)_t = \mathrm e^{X_t - \frac{1}{2}[X,X]_t}. Gemäß Definition ist das stochastische Exponential stets ein Semimartingal. Ist X ein lokales Martingal, so zeigt die Darstellung als Itō-Integral, dass \mathcal{E}(X) ebenfalls ein lokales Martingal ist. Allerdings muss, selbst wenn X ein Martingal ist, das stochastische Exponential kein echtes Martingal sein; als nichtnegatives lokales Martingal ist es dann jedoch ein Supermartingal.

Für viele Anwendungen ist es wichtig, einfach nachzuprüfende Kriterien zu haben, die garantieren, dass das stochastische Exponential eines lokalen Martingals ein (echtes) Martingal ist. Die bekannteste hinreichende Bedingung ist die Novikov-Bedingung (nach dem russischen Mathematiker Alexander Novikov): Sei X ein stetiges lokales Martingal mit X_0 = 0. Gilt \operatorname{E}\bigl(\mathrm e^{\frac{1}{2}[X,X]_t}\bigr) < \infty für alle t \leq T, dann ist \mathcal{E}(X) ein Martingal auf [0,T].

Anwendungen[Bearbeiten]

Lineare stochastische Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Mit Hilfe des stochastischen Exponentials lassen sich die Lösungen linearer stochastischer Differentialgleichungen explizit angeben. Eine lineare stochastische Differentialgleichung hat die Gestalt

\mathrm d X_t = \bigl(\alpha_t + \beta_t X_t\bigr) \, \mathrm dt + \bigl(\gamma_t + \delta_t X_t \bigr) \, \mathrm d W_t

mit stetigen Funktionen oder stetigen adaptierten stochastischen Prozessen \alpha, \beta, \gamma, \delta. Die zugehörige homogene Gleichung

\mathrm d U_t = \beta_t U_t \, \mathrm dt + \delta_t U_t \, \mathrm d W_t = U_t (\beta_t \, \mathrm dt + \delta_t \, \mathrm dW_t)

besitzt die Lösung U_t = \mathcal{E}(Y)_t mit \mathrm d Y_t = \beta_t \, \mathrm dt + \delta_t \, \mathrm dW_t und ohne Einschränkung Y_0 = 0. Die allgemeine Lösung lautet somit explizit

U_t = U_0 \mathrm e^{Y_t - \frac{1}{2}[Y,Y]_t}

mit

Y_t = \int_0^t \beta_s \, \mathrm ds + \int_0^t \delta_s \, \mathrm dW_s

und

[Y,Y]_t = \int_0^t \delta_s^2 \, \mathrm ds.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lässt sich hieraus durch Variation der Konstanten finden, also durch den Ansatz X_t = Z_t U_t.

Satz von Girsanow[Bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Girsanow

Es seien (W_t) ein Wiener-Prozess auf dem Intervall [0,T] bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P und X ein Prozess mit \mathrm d X_t = \theta_t \, \mathrm d W_t. Falls das stochastische Exponential L_t = \mathcal{E}(X)_t ein Martingal ist, dann gilt \operatorname{E}(L_T) = \operatorname{E}(L_0) = 1 und L_T kann als Radon-Nikodým-Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Q bezüglich P aufgefasst werden:

\frac{\mathrm d Q}{\mathrm d P} = L_T.

Bezüglich des so definierten Maßes Q ist der Drift-Prozess

B_t = W_t - \int_0^t \theta_s \, \mathrm d s

ein Standard-Wiener-Prozess.

Literatur[Bearbeiten]

  • Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel: Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives. 2. Auflage, Springer, London/Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 1-85233-458-4, S. 197, 215-217.
  • Fima C. Klebaner: Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 3. Auflage, Imperial College Press, London 2012, ISBN 978-1-84816-831-2.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integrals and Differential Equations. 2. Auflage, Version 2.1, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-00313-4.