Satz von Parseval

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Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die L^2-Norm einer Fourier-Reihe mit der \ell^2-Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Oftmals werden diese beiden Sätze nicht auseinandergehalten, sondern auch der Satz von Plancherel nach Parseval benannt.

Aussagen des Parsevalschen Theorems[Bearbeiten]

Seien A und B zwei riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über \R mit Periode 2\pi und der Fourier-Reihen-Zerlegung

A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} und B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}.

Dann gilt

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n b_n^* = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)^* dx,

wobei i die Imaginäre Einheit ist und * konjugiert komplex bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Spezialfälle des Theorems. Ist z.B. A=B, erhält man

\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx,

woraus die Unitarität der Fourierreihen folgt.

Außerdem sind oft nur die Fourierreihen für reell-wertige Funktionen A und B gemeint, was folgendem Spezialfall entspricht:

a_0 reell, a_{-n} = a_n^*,
b_0 reell, b_{-n} = b_n^*.

In diesem Fall ist

a_0 b_0 + 2 Re( \sum_{n=1}^\infty a_n b_n^*) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx,

wobei Re den Realteil bezeichnet.

Anwendungen[Bearbeiten]

In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedrückt, dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Dies wird in folgender Gleichung ausgedrückt:

\int_{-\infty}^{\infty}{|x(t)|^2 dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|X(\omega)|^2 d\omega}

wobei X(\omega) = \mathcal{F} \{ x(t) \} die Fourier-Transformation von x(t) mit weggelassenem Vorfaktor ist und \omega die Frequenz des Signals bezeichnet.

Für zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu

 \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2,

wobei X[k] die diskrete Fourier-Transformation (DFT) von x[n] ist, beide mit Intervalllänge N.

Siehe auch[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  • Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
  • David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.