Satz von Viviani

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Satzviviani.PNG

Der Satz von Viviani, benannt nach dem italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani (1622–1703), ist eine einfache Aussage über gleichseitige Dreiecke:

Ist P ein beliebiger Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant:

s + t + u = h = 3r \,

Dabei bezeichnet h die Höhe des Dreiecks und r den Inkreisradius.

Dies kann man sich geometrisch einfach klarmachen. Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist so groß wie die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke.

Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ABC gilt \frac{gh}2, wobei g=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA} die Grundseite und h\, die Höhe sein soll.

Die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke ist \frac{gs}2+\frac{gt}2+\frac{gu}2.

Also gilt:

\frac{gh}2=\frac{gs}2+\frac{gt}2+\frac{gu}2

Damit folgt die Behauptung h = s + t + u .

Der Satz von Viviani lässt sich auf gleichseitige und sogar auf gleichwinklige Polygone verallgemeinern.[1]

Literatur[Bearbeiten]

  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, S. 96 (Auszug (Google))
  • Ken-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: On Viviani's Theorem in Three Dimensions. The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 515 (Jul., 2005), S. 283-287 (JSTOR)
  • Zhibo Chen, Tian Liang: The Converse of Viviani's Theorem. The College Mathematics Journal, Vol. 37, No. 5 (Nov., 2006), S. 390-391 (JSTOR)
  • Elias Abboud: Viviani's Theorem and Its Extension. The College Mathematics Journal, Vol. 41, No. 3 (May 2010), S. 203-211 (JSTOR)
  • Hans Samelson: Proof without Words: Viviani's Theorem with Vectors. Mathematics Magazine, Vol. 76, No. 3 (Jun., 2003), S. 225 (JSTOR)

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Michael de Villiers: Cocodiles and Polygons. Mathematics in School, Vol. 34, No. 2 (Mar., 2005), S. 2-4 (JSTOR)