Mittelpunkt

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Dieser Artikel behandelt den Mittelpunkt in der Geometrie; zu anderen gleichnamigen Bedeutungen siehe Zentrum, zum Schriftzeichen Mittelpunkt siehe Mittelpunkt (Schriftzeichen), zu geografischen Mittelpunkten siehe Liste geographischer Mittelpunkte.

Der Begriff Mittelpunkt wird in der Geometrie in folgenden Zusammenhängen benutzt:

  • Bei einer Strecke, einem Kreis, einer Kugel oder allgemein bei einer n-dimensionalen Sphäre ist der Mittelpunkt der Punkt, der von allen Punkten dieser Sphäre den gleichen (minimalen) Abstand besitzt. Diese Definition kann man allgemein in (vollständigen) metrischen Räumen vornehmen.
  • Bei Kegelschnitten und bei den durch Quadriken beschriebenen Flächen zweiter Ordnung (z. B. Ellipsoide oder Kegel) sind die Mittelpunkte die Fixelemente einer Spiegelung, welche die vorgegebene Figur in sich selbst überführt. Alle Kegelschnitte mit Ausnahme der Parabeln haben genau einen Mittelpunkt; eine Fläche zweiter Ordnung kann keinen, genau einen oder eine ganze Gerade oder Ebene von Mittelpunkten haben. Hat sie genau einen Mittelpunkt, wird sie als Mittelpunktsquadrik bezeichnet.
  • Umgangssprachlich wird der Begriff Mittelpunkt auch häufig im Sinne von Schwerpunkt benutzt.

Beschreibung durch Koordinaten[Bearbeiten]

Strecke[Bearbeiten]

Ist der Endpunkt und der Anfangspunkt einer Strecke bekannt, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes über die Beziehungen \mathrm{x_m = \frac{x_1+x_2}{2}}, \mathrm{y_m = \frac{y_1+y_2}{2}} bzw. zusätzlich bei einer Strecke im Raum mit \mathrm{z_m = \frac{z_1+z_2}{2}} ermitteln.

Kreis/Kugel[Bearbeiten]

Ist eine Kreisgleichung der Form \mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}\, gegeben, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes direkt angeben über \mathrm{M(a,b)}\,. Bei einer Kugel wird die Gleichung um die Z-Achse erweitert: \mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}+(z-c)^2\,. Der Mittelpunkt ist somit \mathrm{M(a,b,c)}\,.

Literatur[Bearbeiten]

  • Grotemeyer, K. P.: Analytische Geometrie, Berlin: Sammlung Göschen/de Gruyter (4. Auflage 1969)

Siehe auch[Bearbeiten]