Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras umfasst drei Sätze der Mathematik, die sich mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken befassen:

1. Satz des Pythagoras (Euklid: Elemente, Buch I, § 47 und Buch VI, § 31)
2. Kathetensatz des Euklid (Euklid: Elemente, Buch I, § 47)
3. Höhensatz des Euklid (Euklid: Elemente, Buch VI - § 8, Buch II - § 14 (implizit))

Die einzelnen Sätze

Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenquadrat und Kathetenquadraten

→ Hauptartikel: Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des großen Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten ist.

Seien a,b,c die Seiten eines Dreiecks mit der Seite c (Hypotenuse), die sich stets gegenüber einem 90°-Winkel befindet, den b auf a bildet, dann ist das Quadrat über c flächengleich zu der Summe der Quadrate über a und b.

Als Formel:

$a^2+b^2=c^2$

Kathetensatz des Euklid

Kathetensatz: Die beiden roten Bereiche haben denselben Flächeninhalt, ebenso die beiden grünen

Der Punkt der Höhe h teilt die Hypotenuse in zwei Teile p und q. Das Verhältnis dieser beiden Teile wird durch den Kathetensatz beschrieben. Er besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Rechtecke im Quadrat über der Hypotenuse unter den Kathetenquadraten diesen jeweils flächeninhaltsgleich sind. Oder:

Seien a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c. Teilt man dieses Dreieck an der Höhe h und mit p der Hypotenusenabschnitt über a, q der entsprechende Abschnitt über b, so gilt:

Das Quadrat über a ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten q und c."

Als Formeln:

$a^2=p \cdot c$

$b^2=q \cdot c$

Höhensatz des Euklid

Rechtwinkliges Dreieck mit pq und h²

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist. Oder:

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h, welche die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt. Dann ist $h^2=p \cdot q$.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

Beweise

Für den Satz des Pythagoras existieren sehr viele verschiedene Beweise, siehe Artikel Satz des Pythagoras. Aus diesem kann man den Höhensatz und den Kathetensatz durch algebraische Berechnung beweisen, aber auch umgekehrt folgt aus jedem dieser beiden Sätze der Satz des Pythagoras! Die drei Sätze sind daher äquivalent: Ist einer der drei Sätze bewiesen, gelten ebenso die anderen zwei Sätze der Satzgruppe.

Algebraische Beweise

Beweis des Höhensatzes

Der Beweis des Höhensatzes kann mit dem Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ und der Binomischen Formel $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$geführt werden.

Im Diagramm erkennt man drei rechtwinklige Dreiecke, eines mit den Seiten a,b,c, dann noch jeweils eines mit h,p,a und h,q,b. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:

Rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen a,b,c, Höhe h und Hypotenusenabschnitten p,q

$a^2+b^2=c^2$

$h^2+p^2=a^2$

$h^2+q^2=b^2$

Außerdem gilt $p+q=c$. Das Quadrat ist also:

$(p+q)^2=c^2$.

Nach der ersten binomischen Formel ist dies

$p^2+2pq+q^2=c^2$.

Setzt man dies für c² in die erste Formel ein und für a² und b² den jeweiligen linken Teil der zweiten und dritten Formel, so erhält man:

$h^2+p^2 + h^2+q^2=p^2+2pq+q^2$

und damit $2h^2=2pq$. Nach Division durch zwei folgt der zu beweisende Höhensatz:

$h^2=pq$.

Beweis des Kathetensatzes

Dieser Beweis verläuft analog zum Beweis des Höhensatzes mithilfe obiger vier Formeln: Es ist

$a^2 = c^2-b^2=p^2+2pq+q^2-(q^2+h^2)=p^2+2pq+q^2-q^2-a^2+p^2=2p^2+2pq-a^2$

und damit

$2a^2 = 2p(p + q) = 2pc$

$a^2 = pc$

analog gilt dann

$b^2 = qc$.

Beweis des Kathetensatzes mit Hilfe des Höhensatzes

Bezogen auf die Grafik beim Beweis des Höhensatzes:

$a^2 = p^2 + h^2$

$a^2 = p^2 + pq$

$a^2 = p (p + q)$

$a^2 = p c$

$b^2 = q^2 + h^2$

$b^2 = q^2 + p q$

$b^2 = q (q + p)$

$b^2 = q c$

Beweis des Satzes des Pythagoras mit Hilfe des Kathetensatzes

Aus der Gültigkeit des Kathetensatzes lässt sich aber auch leicht der Satz des Pythagoras herleiten:

$a^2 + b^2 = pc + qc = (p + q)c = c^2$

Geometrische Beweise

Für den Höhensatz und den Kathetensatz existieren auch geometrische Beweise:

Ergänzungsbeweis des Höhensatzes

Ergänzungsbeweis zum Höhensatz

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, falls die Katheten gleich sind (der eingeschlossene Winkel ist ja auch gleich).

Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck an der Höhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten p und h bzw. q und h (gelbes und rotes Dreieck im Diagramm), so kann man diese an ein Quadrat mit der Seitenlänge h (im Diagramm unten links) und an ein Rechteck mit den Seiten p und q anlegen (im Diagramm unten rechts).

In beiden Fällen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten p+h und q+h. Das rechte und linke Dreieck sind also kongruent. Das erste besteht aber aus dem gelben und roten Dreieck und dem Quadrat h², das zweite aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck pq. Die Fläche des Quadrats muss daher gleich der Fläche des Rechtecks sein, also h²=pq.

Scherungsbeweis

Schert man ein Rechteck zu einem Parallelogramm, so bleibt die Fläche erhalten. Damit lässt sich der Höhensatz auch beweisen. Die Animation veranschaulicht den Beweis:

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Höhensatz mittels Scherung

Mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke muss man noch beweisen, dass die neue Höhe q tatsächlich dem Hypotenusenabschnitt entspricht. Darauf wird hier verzichtet.

Scherungsbeweis des Kathetensatzes

Der Scherungsbeweis des Satzes des Pythagoras beweist gleichzeitig auch den Kathetensatz.

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Kathetensatz mittels Scherung

Beweis der kompletten Satzgruppe über ähnliche Dreiecke

Die Seitenverhältnisse der ähnlichen Dreiecke liefern sofort die beiden Kathetensätze und den Höhensatz. Der Satz des Pythagoras ergibt sich dann direkt aus der Anwendung der beiden Kathetensätze.

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
• Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118.
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 70–78 (Auszug (Google)).
• Euklid: Elemente. Buch I - § 47, Buch II - § 14, Buch VI - § 8, Buch VI - § 31 (Online-Kopie).

Weblinks

• Beweissammlung für den Satz des Pythagoras auf cut-the-knot (englisch)
• Eric W. Weisstein: Pythagorean theorem. In: MathWorld. (englisch) (enthält auch verschiedene Beweise)
• Java-Applet zum Höhen- und Kathetensatz
• Beweis des Höhensatzes mit Hilfe des Strahlensatzes
• Satzgruppe des Pythagoras Interaktive Lerneinheit mit Animationen, Konstruktionen, Kontrollfragen und Lösungen