Parallelogramm

Bezeichnungen am Parallelogramm

Ein Parallelogramm oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Inhaltsverzeichnis

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Die Diagonalen halbieren einander.
Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

Formeln zum Parallelogramm
Seitenlängen	$a = c, \quad b = d$
Innenwinkel	$\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta = 180^\circ - \alpha$
Flächeninhalt	$A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left\| \left\|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right\| \right\|$ $A \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac {e \cdot f \cdot \sin \theta}{2}$ Über Transformation in Rechteck mit der Determinante: $A = \Delta x \, \Delta y = \left\| \begin{matrix} a_x && a_y \\b_x && b_y \end{matrix} \right\| \, a \, b$
Höhe zu a	$h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta$
Höhe zu b	$h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta$
Diagonalen (Kosinussatz)	$\begin{array}{ccl} f & = & \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } \\ & = & \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\beta) } \\ e & = & \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\beta) } \\ & = & \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } \end{array}$
Parallelogrammgleichung	$e^2+f^2 = 2\left(a^2+b^2\right)$

Eine Verallgemeinerung auf $n$ Dimensionen ist das Parallelotop $P$ , erklärt als die Menge $\{\alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2 \dots \alpha_n p_n\mid 0\le\alpha_i\le 1\}$ sowie deren Parallelverschiebungen. Dabei sind die $p_i$ linear unabhängige Vektoren.