Slater-Determinante

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Die Slater-Determinante (nach John C. Slater) ist ein Näherungsansatz zur Lösung der Schrödinger-Gleichung eines Systems mit N gleichartigen Fermionen. Die Beschreibung als Determinante stellt die Anti-Symmetrie der Wellenfunktion sicher. Wenn man in einer Determinante zwei Spalten oder zwei Zeilen vertauscht, dann ändert sich das Vorzeichen. Genauso verhalten sich Fermionen (Pauli-Prinzip).

Die einfachste Näherung der Wellenfunktion eines Vielteilchensystems ist ein anti-symmetrisiertes Produkt bestehend aus N orthonormalen Einelektronenfunktionen, welche man durch den Hartree-Fock-Ansatz erhält.

Motivation[Bearbeiten]

Für ein System aus N unterscheidbar angenommenen Elektronen ist ein vollständiges Orthonormalsystem von Zuständen gegeben, ausdrückbar durch die Produktwellenfunktionen aller möglichen Permutationen der Einteilchenzustände. Aus quantenphysikalischer Sicht sind die Teilchen eines Vielteilchensystems gerade nicht unterscheidbar. Dies führt dazu, dass bestimmte Symmetriebedingungen an die dazugehörige Wellenfunktion zu stellen sind: im Fall von Fermionen muss sie antisymmetrisch zu beliebiger Vertauschung zweier Teilchen sein. Um dies zu gewährleisten, wird - wie im Folgenden gezeigt - die Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen geschrieben.

Herleitungsskizze[Bearbeiten]

Wellenfunktion:

\psi\left(1,2,\dots,N\right) = A_N \phi_1(1) \phi_2(2) \dots \phi_N(N)

Das Funktionsargument entspricht der Ordnungszahl des jeweiligen Elektrons, z. B. \phi(i) \equiv \phi(\vec{r}_i). Zur Erfüllung des Pauli-Prinzips wird der Antisymmetrisierungsoperator A_N angefügt, d. h.:

\psi(1,2,\dots,j,\dots,k,\dots,N) = -\psi(1,2,\dots,k,\dots,j,\dots,N)

Ergebnis[Bearbeiten]

Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

A_N [\phi_1(1) \phi_2(2) \dots \phi_N(N)] = \frac{1}{\sqrt{N!}}
\begin{vmatrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \dots  & \phi_N(1) \\ 
                \phi_1(2) & \phi_2(2) & \dots  & \phi_N(2) \\ 
                \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
                \phi_1(N) & \phi_2(N) & \dots  & \phi_N(N)
\end{vmatrix} = |\phi_1\phi_2\dots\phi_N|

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  A. Szabo, N. S Ostlund: Modern quantum chemistry: introduction to advanced electronic structure theory. 1. Auflage. McGraw-Hill, New York 1989, ISBN 0-07-062739-8.
  •  H. Friedrich: Theoretische Atomphysik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin–Heidelberg 1994, ISBN 978-3540582670.
  •  T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3827420206.