Fallende und steigende Faktorielle

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Die fallende bzw. steigende Faktorielle bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h. um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

Definition[Bearbeiten]

Für natürliche Zahlen n und k mit n\geq k\geq 0 wird die k-te fallende bzw. steigende Faktorielle als n^{\underline{k}} bzw. n^{\overline k} (in manchen älteren Lehrbüchern auch (n)_k bzw. n^{(k)}) notiert und ist wie folgt definiert:

n^{\underline{k}} := n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}
n^{\overline{k}} := n(n+1)(n+2) \cdots (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}

Kombinatorische Interpretation[Bearbeiten]

Die fallende Faktorielle lässt sich als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einem Beutel mit n eindeutig markierten Kugeln k Kugeln zu entnehmen, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird und keine Kugeln zurückgelegt werden dürfen: Für die erste Kugel gibt es n Kandidaten, für die zweite n-1 … und schließlich für die letzte Kugel noch n-k+1. Für die Gesamtauswahl gibt es daher n(n-1)\cdots(n-k+1)=n^{\underline k} Möglichkeiten.

Allgemein ist n^{\underline k} die Anzahl der k-Permutationen einer n-Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer k-Menge in eine n-Menge.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl x und eine natürliche Zahl k:

x^{\underline{k}} := x(x-1)(x-2) \cdots (x-k+1)
x^{\overline{k}} := x(x+1)(x+2) \cdots (x+k-1)

Man kann x^{\underline{k}} und x^{\overline k} dann als komplexe Polynome in x auffassen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Es gelten folgende Rechenregeln:

x^{\underline 1}=x^{\overline 1}=x
x^{\underline 0}=x^{\overline 0}=1
(-x)^{\overline k} = (-1)^kx^{\underline k}
x^{\underline k}=(-x)^{\overline k}=0  für 0\leq x<k

Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen[Bearbeiten]

Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

\binom xk := \frac 1{k!}x^{\underline k}

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei \displaystyle\left[{n \atop k}\right] und \displaystyle\left\{\!{n \atop k}\!\right\} die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

\displaystyle x^k = \sum_{j=-\infty}^\infty \left\{\!{k \atop j}\!\right\}\cdot x^{\underline j}
\displaystyle x^{\overline k} = \sum_{j=-\infty}^\infty \left[{k \atop j}\right]\cdot x^j
\displaystyle x^{\underline k} = \sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{k-j}\left[{k \atop j}\right]\cdot x^j

Literatur[Bearbeiten]