Sterngebiet

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sternförmige Menge mit Zentrum x_0, ihr Inneres (grün) ist ein Sterngebiet

In der Mathematik versteht man unter einer sternförmigen Menge eine Teilmenge M des \mathbb{R}^n , zu der es einen Punkt x_0 gibt (ein Sternzentrum bzw. einen Sternmittelpunkt), von dem aus alle Punkte der Menge „sichtbar“ sind, das heißt, jede gerade Verbindungsstrecke von x_0 zu einem beliebigen Punkt x \in M liegt vollständig in M.

Ist eine sternförmige Menge zusätzlich offen, so spricht man von einem Sterngebiet.

Formale Definition[Bearbeiten]

Eine Menge  M \subseteq \mathbb{R}^n heißt sternförmig, wenn es ein x_0 \in M gibt, so dass für alle x \in M die Strecke

[x_0\, x] = \left \{ x_0+t(x-x_0) \;\colon\; t \in [0,1] \right \}

eine Teilmenge von M ist.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Jede nichtleere konvexe Menge ist sternförmig.
  • Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch Zentrum der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist.
  • Sternförmige Mengen sind kontrahierbar. Daraus folgt:
  • Sternförmige Mengen sind einfach zusammenhängend, also insbesondere wegzusammenhängend.
  • Ein Sterngebiet ist ein Gebiet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]