Superperfekte Zahl

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Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man \sigma\, als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn \sigma(\sigma(n))=2n.\,

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung \sigma(n)=2n.\, Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung n \mapsto \sigma(n) - n iteriert).

Beispiele und Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl n \sigma(n) \sigma(\sigma(n)) 2n Superperfekt?
2 \sigma(2) = 1 + 2 = 3 \sigma(3) = 1 + 3 = 4 4 ✔ Ja
3 \sigma(3) = 1 + 3 = 4 \sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7 6 ✘ Nein
6 \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 \sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 12 ✘ Nein
8 \sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \sigma(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 16 ✘ Nein
10 \sigma(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 \sigma(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39 20 ✘ Nein
16 \sigma(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 \sigma(31) = 1 + 31 = 32 32 ✔ Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form 2^{p-1}, wobei 2^p-1 eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn \sigma^m(n)=k\cdot n gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Cohen/te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Literatur[Bearbeiten]

  • D. Suryanarayana: Super perfect numbers, Elemente der Mathematik 24, 16–17, 1969 (online)
  • Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen, Dissertation, Braunschweig, 1971
  • Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 3. Auflage, 2004, Kapitel B2 und B9 (Google books)
  • G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function, Experimental Mathematics 5, 93-100, 1993 (online)

Weblinks[Bearbeiten]