Mersenne-Primzahl

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Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form 2n − 1. Im Speziellen bezeichnet man mit Mn = 2n − 1 die n-te Mersenne-Zahl.

Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen Mp sind

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 (Folge A000668 in OEIS) für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 (Folge A000043 in OEIS).

Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne, der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica [1] behauptete, dass für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 Mp eine Primzahl sei. Er irrte sich jedoch bei den Zahlen M67 und M257 und übersah die Mersenne-Primzahlen M61, M89 und M107. Dass M67 keine Primzahl ist, wurde erst im Jahre 1903 vom Mathematiker Frank Cole entdeckt. Um den Nachweis zu führen, dass M257 keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet.
Bei der Zahl M67 handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er p = 61 mit p = 67 verwechselte.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Eigenschaften der Mersenne-Zahlen

  • Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch Mn eine zusammengesetzte Zahl. Ist nämlich n = rs, dann lässt sich Mn als Produkt
M_n = 2^{rs} - 1 = (2^r - 1) \cdot (2^{r(s-1)} + 2^{r(s-2)} + \ldots + 2^r+1)
darstellen.
Daraus folgt unmittelbar, dass der Exponent p einer Mersenne-Primzahl Mp = 2p − 1 selbst eine Primzahl ist. Der Umkehrschluss ist jedoch falsch, da beispielsweise M_{11} = 23 \cdot 89 keine Mersenne-Primzahl ist. Durch diese Eigenschaft wird die Suche nach Mersenne-Primzahlen erleichtert, da nur noch Mersenne-Zahlen mit Primzahlexponent betrachtet werden müssen.
  • Ist n eine gerade Zahl und n+1 prim, so ist p = n+1 ein Teiler von Mn
    • z. B. M(10) = 1023 = 3*11*31 = M(2)*M(5)*11; M(12) = 4095 = 3*3*5*7*13 = 3*5*M(2)*M(3)*13
  • Ist n eine ungerade Primzahl und q eine Primzahl und Teiler von Mn, so gilt q ≡ 1 (mod 2n) und q ≡ ±1 (mod 8).
    • z. B. M(11) = 2047 = 23*89; 23 = 2*11+1; 89 = 4*2*11+1
  • Wenn p eine Primzahl ist und es gilt p ≡ 3 (mod 4), dann gilt: 2p+1 teilt die Mersenne-Zahl Mp ⇔ 2p+1 prim
    • z. B. 11 ist prim und lässt einen Rest von 3 bei Division mit 4; dann gilt: 23 teilt die Mersenne-Zahl M(11)=2047 ⇔ 23 (als Ergebnis von 2*11+1) ist prim
Diese Aussage wurde von Leonhard Euler formuliert, aber erst später von Joseph-Louis Lagrange bewiesen. (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl)
  • Ist n die m-te Potenz von 2, also n=2m (mit m>0), so ist Mn das Produkt der Fermat-Zahlen F0 bis Fm-1
    • z. B. M(16)=M(24)=F(0)*F(1)*F(2)*F(3) = 3*5*17*257; M(32)=M(25)=F(0)*F(1)*F(2)*F(3)*F(4) = 3*5*17*257*65537
  • Ist Mp eine Primzahl > 3, dann ist Mp + 2 keine Primzahl; vielmehr ist Mp + 2 durch 3 teilbar, d. h. Mersenne-Primzahlen eignen sich nicht als Primzahlzwilling.
  • Unter Annahme der erweiterten Riemannschen Vermutung lässt sich noch zeigen, dass die Summe der Kehrwerte der Teiler einer Mersenne-Primzahl
\sum_{p<x, q|M_p}\frac{1}{q}
für x gegen unendlich konvergiert.

[Bearbeiten] Darstellung im Dualsystem

Die n-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit n Einsen. Mersenne-Zahlen zählen deshalb zu den Zahlenpalindromen (in der Basis 2), genauer zu den Repunit-Zahlen (in der Basis 2); Mersenne-Primzahlen sind im besonderen Primzahlpalindrome (in der Basis 2).

[Bearbeiten] Anwendungen

Neben der Tatsache, dass die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Zahlen sind, spielen diese eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen. 2n - 1(2n - 1) ist genau dann eine gerade vollkommene Zahl, wenn 2n − 1 eine Primzahl ist. In der Tabelle unten wird die vollkommene Zahl zur n-ten Mersennezahl mit P(n) bezeichnet.

Eine weitere Anwendung ist der Mersenne Twister, ein Pseudozufallszahlengenerator.

[Bearbeiten] Die Suche nach Mersenne-Primzahlen

Für die Erzielung von Primzahl-Rekorden eignen sich die Mersenne-Primzahlen in mehrfacher Hinsicht besonders gut, weil

  • zusammengesetzte Exponenten bedenkenlos unberücksichtigt bleiben können, weil diese keine Primzahlen generieren,
  • die erforderlichen primen Exponenten quasi vorgefertigt zur Verfügung gestellt werden können - aus sogenannten Primzahlgeneratoren bzw. aus speziell zusammengestellten Mengen (Dateien),
    • aus diesen primen Exponenten die Sophie-Germain-Primzahlen mit p = 3 (mod 4) ausgesondert werden können (wie z. B. p = 11; Teiler 23), weil durch sie zusammengesetzte Mersenne-Zahlen generiert werden mit Teiler 2*p + 1
  • durch den funktionalen Zusammenhang die Größenordnung der Primzahl exponentiell - nämlich zur Basis zwei - mit dem Argument p anwächst,
  • ein einfacher und schneller Faktor-Finder vorgeschaltet werden kann, der den Prüfling auf kleinere Primfaktoren vorprüft,
  • mit dem nachfolgend beschriebenen Lucas-Lehmer-Test ein relativ einfacher und effektiver Primzahltest zur Verfügung steht,
  • die Wahrscheinlichkeit, unter den Mersenne-Zahlen eine Primzahl zu finden, für größer angenommen wird als unter einer zufällig ausgewählten ungeraden Zahl derselben Größenordnung.

[Bearbeiten] Der Lucas-Lehmer-Test

Der Lucas-Lehmer-Test ist zum Testen von Mersenne-Zahlen ab M3 geeignet. Er basiert ganz wesentlich darauf, dass die Mersenne-Zahlen im Dualsystem nur aus lauter Einsen bestehen. Er funktioniert wie folgt:

Sei p ungerade und prim. Ferner sei die rekursive Folge S(k+1) definiert durch S(1) = 4, S(k+1) = S(k)2–2
Dann gilt: Mp = 2p–1 ist genau dann eine Primzahl, wenn S(p–1) durch Mp teilbar ist.

In dieser von Derrick Henry Lehmer gefundenen Form, die auf Édouard Lucas zurück geht, ist die Anwendung allerdings unpraktisch, weil die Zahlen S(k) sehr schnell sehr groß werden. Deshalb werden heutzutage bereits alle Zwischenschritte modulo Mp ausgerechnet, so dass große Zahlen vermieden werden:

Sei S(1) = 4, S(k+1) = S(k)2–2 mod Mp
Ist S(p–1) = 0 dann ist Mp eine Primzahl.

[Bearbeiten] Beispiele

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M5 = 25–1 = 31 eine Primzahl ist:

 S(1) = 4
 S(2) = ( 4² - 2) mod 31 = 14
 S(3) = (14² - 2) mod 31 =  8
 S(4) = ( 8² - 2) mod 31 =  0

Da S(4) = 0 ist, ist M5 = 31 eine Primzahl.

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M11 = 211–1 = 2047 = 23 * 89 eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (   4² - 2) mod 2047 =   14
 S( 3) = (  14² - 2) mod 2047 =  194
 S( 4) = ( 194² - 2) mod 2047 =  788
 S( 5) = ( 788² - 2) mod 2047 =  701
 S( 6) = ( 701² - 2) mod 2047 =  119
 S( 7) = ( 119² - 2) mod 2047 = 1877
 S( 8) = (1877² - 2) mod 2047 =  240
 S( 9) = ( 240² - 2) mod 2047 =  282
 S(10) = ( 282² - 2) mod 2047 = 1736

Da S(10) > 0 ist, ist M11 = 2047 keine Primzahl.

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M19 = 219–1 = 524287 eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (      4² - 2) mod 524287 =     14
 S( 3) = (     14² - 2) mod 524287 =    194
 S( 4) = (    194² - 2) mod 524287 =  37634
 S( 5) = (  37634² - 2) mod 524287 = 218767
 S( 6) = ( 218767² - 2) mod 524287 = 510066
 S( 7) = ( 510066² - 2) mod 524287 = 386344
 S( 8) = ( 386344² - 2) mod 524287 = 323156
 S( 9) = ( 323156² - 2) mod 524287 = 218526
 S(10) = ( 218526² - 2) mod 524287 = 504140
 S(11) = ( 504140² - 2) mod 524287 = 103469
 S(12) = ( 103469² - 2) mod 524287 = 417706
 S(13) = ( 417706² - 2) mod 524287 = 307417
 S(14) = ( 307417² - 2) mod 524287 = 382989
 S(15) = ( 382989² - 2) mod 524287 = 275842
 S(16) = ( 275842² - 2) mod 524287 =  85226
 S(17) = (  85226² - 2) mod 524287 = 523263
 S(18) = ( 523263² - 2) mod 524287 =      0

Da S(18) = 0 ist, ist M19 = 524287 eine Primzahl (seit 1603 bekannt).

[Bearbeiten] Literatur zum Lucas-Lehmer-Test

  • Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques, É. Lucas, Amer. Journ. of Math., 1, 289–
  • An extended theory of Lucas' functions, D. H. Lehmer, Annals of mathematics, 31, 419–

[Bearbeiten] Suche nach Mersenne-Primzahlen: GIMPS

Bisher kennt man 47 Mersenne-Primzahlen. Mit Computerhilfe versucht man, weitere Mersenne-Primzahlen zu finden. Da es sich um sehr große Zahlen handelt – die 46. Mersenne-Primzahl hat knapp 13 Millionen Ziffern im Dezimalsystem – sind die Berechnungen (zeit- und organisations-)aufwendig. Rechenoperationen mit derart großen Zahlen werden von Computern nicht von Haus aus unterstützt. Man muss die Zahlen in großen Feldern abspeichern und die damit erforderlichen Grundrechenarten programmieren. Dies führt zu langen Programmlaufzeiten.

GIMPS (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) versucht daher, weltweit möglichst viele Computer an den Berechnungen zu beteiligen und stellt die erforderliche Software (Prime95) für eine Reihe von Plattformen (Windows, Unix, Linux ...) zur Verfügung. Jeder kann mitmachen, sofern er einen Rechner mit (zeitweise) freien CPU-Kapazitäten besitzt. Dazu muss man sich von der Website die Software herunterladen und dann installieren. Danach meldet man sich bei GIMPS und lässt sich eine Zahl geben, die man untersuchen soll. Wenn die Berechnungen erledigt sind (meist nach mehreren Monaten) meldet man das Ergebnis bei GIMPS zurück. Man bekommt dabei im Laufe der Computeranalyse auch Wahrscheinlichkeiten mitgeteilt: die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu finden (sehr klein, unter 1 %); die Wahrscheinlichkeit, einen Faktor zu finden (größer). Diese Wahrscheinlichkeit soll einem die Erfolgsaussichten für das Finden einer Primzahl deutlich machen.

[Bearbeiten] Vermutungen zu den Mersenne-Zahlen

  • Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Man vermutet aufgrund von plausiblen Heuristiken, dass es etwa c \cdot \ln x viele Mersenne-Primzahlen Mp gibt mit p < x. Wenn dies der Fall ist, so gibt es tatsächlich unendlich viele Mersenne-Primzahlen.
  • Gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen Mp mit p prim, die keine Primzahlen sind? Auch hier vermutet man als Antwort ja. Dies würde zum Beispiel aus der Vermutung, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind, folgen.
  • Sind alle Mersenne-Zahlen Mp mit p prim quadratfrei, d. h. kommt in der Primfaktorzerlegung der Zahl jeder Primfaktor genau einmal vor? Man konnte bisher noch nicht einmal beweisen, dass dies für unendlich viele Mersenne-Zahlen gilt.
  • Gilt die "neue Mersenne-Vermutung"? Die Folge von Mersenne-Primzahlen, die Mersenne angab, lässt vermuten, dass er meinte, dass eine Mersenne-Zahl Mp mit p prim genau dann prim ist, wenn p=2k±1 oder p=4k±3. Da diese Aussage nicht gilt, stellten P. Bateman, J. Selfridge und S. Wagstaff die neue Mersenne-Vermutung auf.
Diese besagt, dass aus zwei der folgenden drei Aussagen bereits die dritte folgt:
  1. n = 2k ± 1 oder n = 4k ± 3
  2. 2n – 1 ist eine (Mersenne) Primzahl
  3. (2n+1)/3 ist eine Primzahl

s. auch: neue Mersenne Vermutung (engl.)

  • Sind alle Glieder der Folge C(0) = 2, C(k+1) = 2C(k)–1 Primzahlen? Die stärkere Vermutung, dass alle Zahlen MMp Primzahlen sind, für die Mp eine Primzahl ist, konnte inzwischen für p=13 widerlegt werden. Diese letzteren Zahlen nennt man doppelte Mersenne-Zahlen. Auch hier ist noch nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlen darunter gibt.

[Bearbeiten] Geschichte der Mersenne-Primzahlen

Jahr Ereignis
bis 1536 Man glaubt, dass für alle Primzahlen p gilt, 2p–1 sei prim.
1536 Der deutsche Rechenmeister Ulrich Rieger (lat. Hudalrichus Regius) veröffentlicht in seinem Rechenbuch Utriusque Arithmetices epitome[2] als erster die fünfte vollkommene Zahl 212•(213–1) = 4.096•8.191 = 33.550.336 in gedruckter Form. Nachdem die Zahlen 511 und 2.047 in seiner tabellarischen Übersicht nicht vorkommen, darf man annehmen, dass er 211–1 = 2047 = 23•89 als zusammengesetzt erkannt hat, obgleich er dies nicht extra erwähnt.
1555 Johann Scheubel veröffentlicht in seiner deutschen Übersetzung der Bücher VII-IX von Euklids Elementen die nächsten beiden vollkommenen Zahlen 216•(217–1) = 65.536•131.071 = 8.589.869.056 und 218•(219–1) = 262.144•524.287 = 137.438.691.328.[3] Die zweiten Faktoren sind die Mersenneschen Primzahlen M17 und M19. Allerdings hat er sowohl 211–1 = 2047 = 23•89, als auch 215–1 = 32.767 = 7•31•151 nicht als zusammengesetzt erkannt, dafür aber 221–1 = 2.097.151 = 72•127•337. (Die Zerlegungen gibt er allerdings an dieser Stelle nicht an.) Er erhält in seinem Werk also fälschlicherweise neun, anstatt der korrekten sieben vollkommenen Zahlen.
1603 Pietro Cataldi (1548–1626) zeigt, dass 2n–1 Primzahlen sind für n = 17, 19. Fälschlicherweise glaubt er dies auch für n = 23, 29, 31 und 37
(ist nur für n = 31 korrekt).
1640 Fermat widerlegt Cataldi für n = 23 und n = 37: 223–1 = 47 * 178481 und 237–1 = 223 * 616318177 sind keine Primzahlen.
1644 Mersenne behauptet, 2n–1 sei prim für n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257, jedoch nicht prim für alle anderen natürlichen Zahlen kleiner als 257 (Vorwort zu seinem Werk "Cogitata Physica-Mathematica").
Dies ist allerdings falsch, denn 2n–1 ist prim sowohl für n = 61 (was 1883 bemerkt wird) als auch für n = 89,107
(wird erst nach 1900 nachgewiesen).
1738 Euler widerlegt Cataldi für n = 29: 229-1 =233 * 1103 * 2089
1750 Euler bestätigt, dass Cataldi für n=31 richtig lag: 231–1 ist prim.
1870 Édouard Lucas (1842–1891) formuliert die theoretischen Grundlagen für den Lucas-Lehmer Test.
1876 Lucas bestätigt Mersenne: 2127–1 ist prim.
1883 M. Pervouchine (orthodoxer Priester in Perm/Russland) zeigt, dass 261–1 prim ist (Widerspruch zu Mersenne).
1911 R.E. Powers widerspricht Mersenne für n = 89: 2n–1 ist prim.
1914 Powers widerspricht Mersenne auch für n = 107: 2n–1 ist prim. Fast gleichzeitig kommt auch E. Fauquembergue zu dieser Aussage.
1930 Lehmer (1905-1991) formuliert den Lucas-Lehmer Test.
1932 Lehmer zeigt: M(149) und M(257) sind nicht prim.
1934 Powers zeigt: M(241) ist nicht prim.
1944 H.S.Uhler zeigt: M(157) und M(167) sind nicht prim.
1945 H.S.Uhler zeigt: M(229) ist nicht prim.
1947 H.S.Uhler zeigt: M(199) ist nicht prim.
1947 Der Bereich von 1 bis 258 wird vollständig überprüft. Man kennt nun die Mersenne-Primzahlen M(n) für n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 und 127.
1951 Beginn des Einsatzes von Computern, die Länge der größten bekannten Primzahl steigt bis 1952 von 39 Stellen auf 687 Dezimalstellen.
1963 Gillies entdeckt M(11.213) mit 3.376 Stellen.
1996 Joel Armengaud und George Woltman entdecken mit GIMPS M(1.398.269) mit 420.921 Stellen.
1999 Mit M(6.972.593), die 2.098.960 Stellen hat, kennt man erstmals eine Primzahl mit mehr als 1 Million Stellen.
2004 Es wird nachgewiesen, dass M(24.036.583), eine Zahl mit 7.235.733 Stellen, prim ist.
2005 Im Februar wird vom GIMPS-Projekt die 42. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(25.964.951) hat 7.816.230 Stellen.

Ebenfalls vom GIMPS-Projekt wird im Dezember die 43. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(30.402.457) hat 9.152.052 Stellen.
2006 Am 4. September vermeldet das GIMPS-Projekt die Entdeckung der 44. Mersenne-Primzahl M(32.582.657) mit 9.808.358 Stellen.
2008 Am 16. September werden vom GIMPS-Projekt die 45. und die 46. bekannte Mersenne-Primzahl veröffentlicht: M(37.156.667) (entdeckt am 6. September) mit 11.185.272 Stellen und M(43.112.609) (entdeckt am 23. August) mit 12.978.189 Stellen.
2009 Die 47. bekannte Mersenne-Primzahl M(42.643.801) wird vom GIMPS-Projekt am 12. April entdeckt und am 12. Juni veröffentlicht.

[Bearbeiten] Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen

Nr. n Anzahl
Ziffern
von M(n)		 Anzahl
Ziffern der
perfekten
Zahl P(n)		 Jahr Entdecker
1 2 1 1 - -
2 3 1 2 - -
3 5 2 3 - -
4 7 3 4 - -
5 13 4 8 1456 -
6 17 6 10 1555 Johann Scheubel
7 19 6 12 1555 Scheubel
8 31 10 19 1772 Leonhard Euler
9 61 19 37 1883 Ivan Mikheevich Pervushin
10 89 27 54 1911 R. E. Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Édouard Lucas
13 521 157 314 1952 Raphael M. Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
17 2281 687 1373 1952 Robinson
18 3217 969 1937 1957 Hans Riesel
19 4253 1281 2561 1961 Alexander Hurwitz
20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz
21 9689 2917 5834 1963 Donald B. Gillies
22 9941 2993 5985 1963 Gillies
23 11.213 3376 6751 1963 Gillies
24 19.937 6002 12003 1971 Bryant Tuckerman
25 21.701 6533 13066 1978 Landon Curt Noll und Laura Nickel
26 23.209 6987 13973 1979 Noll
27 44.497 13.395 26790 1979 David Slowinski und Harry Nelson
28 86.243 25.962 51924 1982 Slowinski
29 110.503 33.265 66530 1988 Walter Colquitt und Luther Welsh Jr.
30 132.049 39.751 79502 1983 Slowinski
31 216.091 65.050 130100 1985 Slowinski
32 756.839 227.832 455663 1992 Slowinski und Paul Gage
33 859.433 258.716 517430 1994 Slowinski und Gage
34 1.257.787 378.632 757263 1996 Slowinski und Gage
35 1.398.269 420.921 841842 1996 Joel Armengaud und George Woltman (GIMPS)
36 2.976.221 895.932 1.791.864 1997 Gordon Spence und Woltman (GIMPS)
37 3.021.377 909.526 1.819.050 1998 Roland Clarkson, Woltman und Scott Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
38 6.972.593 2.098.960 4.197.919 1999 Nayan Hajratwala, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
39 13.466.917 4.053.946 8.107.892 2001 Michael Cameron, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
40? 20.996.011 6.320.430 12.640.859 2003 Michael Shafer, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
41? 24.036.583 7.235.733 14.471.466 2004 Josh Findley, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
42? 25.964.951 7.816.230 15.632.458 2005 Martin Nowak, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
43? 30.402.457 9.152.052 18.304.103 2005 Curtis Cooper, Steven Boone, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
44? 32.582.657 9.808.358 19.616.714 2006 Cooper, Boone, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
45? 37.156.667 11.185.272 22.370.543 2008 Hans-Michael Elvenich, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
46? 42.643.801 12.837.064 25.674.127 2009 Odd M. Strindmo, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)
47? 43.112.609 12.978.189 25.956.377 2008 Edson Smith, Woltman und Kurowski (GIMPS, PrimeNet)

Bisher (Stand 7. Januar 2009) ist unbekannt, ob es zwischen n=13.466.917 und n=43.112.609 neben den sechs bekannten Mersenne-Primzahlen noch weitere gibt; deshalb ist die Nummerierung ab Nr. 40 noch ungewiss (und mit einem '?' versehen).

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Marin Mersenne: Cogitata Physico-Mathematica. In quibus tam naturae quàm artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris: Bertier, 1644, Praefatio generalis, Nr. XIX.
  2. ↑ Hudalrichus Regius: Vtrivsque Arithmetices epitome ex uarijs authoribus concinnata. Straßburg: Bartholomäus Grüninger, 1536, S. VIIIv-IXv, Kap. 6 (De perfecto [Über die vollkommenen Zahlen]).
  3. ↑ Johann Scheubel: Das sibend, acht vnd neunt buch, des hochberümbten Mathematici Euclidis Megarensis, in welchen der operationen vnnd regulen aller gemainer rechnung, vrsach grund vnd fundament, angezaigt wirt, zu gefallen allen den, so die kunst der Rechnung liebhaben [...] auß dem latein ins teütsch gebracht, vnnd mit gemainen exemplen also illustrirt vnnd an tag geben, das sy ein yeder gemainer Rechner leichtlich verstehn, vnnd ime nutz machen kan. Augsburg: Valentin Ottmar, 1555, S. CCXXXI-CXXXIIII (Euklid IX, 36), hier S. CCXXXIII.

[Bearbeiten] siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Mersenne-Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl“
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