Mersenne-Primzahl

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Poststempel mit der 23. Mersenne-Primzahl, die 1963 an der UIUC von Donald B. Gillies gefunden wurde.

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form 2^n - 1. Im Speziellen bezeichnet man mit M_n = 2^n - 1 die n-te Mersenne-Zahl. Die ersten acht Mersenne-Zahlen M_n sind

0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 (Folge A000225 in OEIS).

Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen M_p sind

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 (Folge A000668 in OEIS)
für die Exponenten p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 (Folge A000043 in OEIS).

Die zur Basis 2 definierten Mersennezahlen zeigen sich im Dualsystem als Einserkolonnen, d.h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die n-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit n Einsen (Beispiel: M3 = 7 = 1112). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen.

Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588 – 1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica [1] behauptete, dass für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 M_p eine Primzahl sei.

Er irrte sich jedoch bei den Zahlen M_{67} und M_{257} und übersah die Mersenne-Primzahlen M_{61}, M_{89} und M_{107}. Dass M_{67} keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass M_{257} keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl M_{67} handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er p = 61 mit p = 67 verwechselte.

Mersenne-Zahlen kommen auch beim Mersenne-Twister vor, einem Pseudozufallszahlengenerator.

Geschichte[Bearbeiten]

Mersenne-Zahlen wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird vollkommen genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: 6 = 1 + 2 + 3). Schon Euklid hatte gezeigt, dass, wenn 2n – 1 eine Primzahl ist, die Zahl 2n-1·(2n – 1) vollkommen ist (n = 2 liefert die Zahl 6). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen gezeigt: jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form 2n-1·(2n – 1), wobei 2n – 1 eine Primzahl ist.

Ungerade vollkommene Zahlen sind bisher nicht gefunden worden, es konnte aber auch noch nicht bewiesen werden, dass es sie nicht gibt.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen 6, 28, 496 und 8128 waren schon in der Antike bekannt. Die Suche nach weiteren vollkommenen Zahlen motivierte die Suche nach weiteren Mersenne-Primzahlen. Die wichtigste dabei zu beachtende Eigenschaft ist die folgende:

Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch Mn eine zusammengesetzte Zahl. Ist nämlich n ein Vielfaches von r > 1, so ist Mr > 1 und Mr Teiler von Mn.

Daraus folgt unmittelbar, dass der Exponent p einer Mersenne-Primzahl M_p = 2^p-1 selbst eine Primzahl ist. Durch diese Eigenschaft wird die Suche nach Mersenne-Primzahlen erleichtert, da nur noch Mersenne-Zahlen mit Primzahlexponent betrachtet werden müssen.

Der Umkehrschluss ist jedoch falsch, da beispielsweise M11 = 2047 = 23 · 89 keine Primzahl ist.

Mersenne-Primzahlen sind selten: bislang (2013) sind erst 48 davon gefunden worden. Da es einen besonders einfachen Primzahltest für sie gibt, sind die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Primzahlen.

Jahr Ereignis
bis 1536 Man glaubt, dass für alle Primzahlen p gilt, 2p–1 sei prim.
1536 Der deutsche Rechenmeister Ulrich Rieger (lat. Hudalrichus Regius) veröffentlicht in seinem Rechenbuch Utriusque Arithmetices epitome[2] als erster die fünfte vollkommene Zahl 212·(213–1) = 4096 · 8191 = 33550336 in gedruckter Form. Nachdem die Zahlen 511 und 2047 in seiner tabellarischen Übersicht nicht vorkommen, darf man annehmen, dass er 211–1 = 2047 = 23 · 89 als zusammengesetzt erkannt hat, obgleich er dies nicht extra erwähnt.
1555 Johann Scheubel veröffentlicht in seiner deutschen Übersetzung der Bücher VII-IX von Euklids Elementen die nächsten beiden vollkommenen Zahlen 216·(217–1) = 65536 · 131071 = 8589869056 und 218·(219–1) = 262144 · 524287 = 137438691328.[3] Die zweiten Faktoren sind die Mersenneschen Primzahlen M17 und M19. Allerdings hat er sowohl 211–1 = 2047 = 23 · 89, als auch 215–1 = 32767 = 7 · 31 · 151 nicht als zusammengesetzt erkannt, dafür aber 221–1 = 2097151 = 72 · 127 · 337. (Die Zerlegungen gibt er allerdings an dieser Stelle nicht an.) Er erhält in seinem Werk also fälschlicherweise neun, anstatt der korrekten sieben vollkommenen Zahlen.
1603 Pietro Cataldi (1548–1626) zeigt, dass 2p–1 prim ist für p = 17, 19 und vermutet dies korrekt für p = 31. Fälschlicherweise glaubt er es auch für p = 23, 29 und 37.
1640 Fermat widerlegt Cataldi für p = 23 und p = 37: 223–1 = 47 · 178481 und 237–1 = 223 · 616318177 sind keine Primzahlen.
1644 Mersenne behauptet, 2p–1 sei prim für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257, jedoch nicht prim für alle anderen natürlichen Zahlen kleiner als 257 (Vorwort zu seinem Werk Cogitata Physico-Mathematica). Dies ist allerdings falsch, denn 2p–1 ist prim sowohl für p = 61 (was 1883 bemerkt wird) als auch für p = 89, 107 (wird erst nach 1900 nachgewiesen).
1738 Euler widerlegt Cataldi für p = 29: 229-1 = 233 · 1103 · 2089.
1750 Euler bestätigt, dass Cataldi für p = 31 richtig lag: 231–1 ist prim.
1870 Édouard Lucas (1842–1891) formuliert die theoretischen Grundlagen für den Lucas-Lehmer-Test.
1876 Lucas bestätigt Mersenne: 2127–1 ist prim und widerspricht: 267-1 ist nicht prim, Faktoren bleiben unbekannt.
1883 Iwan Michejowitsch Perwuschin (1827–1900), ein russischer Mathematiker und orthodoxer Priester aus Perm/Russland, zeigt, dass 261–1 prim ist (Widerspruch zu Mersenne).
1903 Frank Nelson Cole benennt die Primfaktoren von 267-1 = 193707721 · 761838257287.
1911 Ralph Ernest Powers widerspricht Mersenne für p = 89: 2p–1 ist prim.[4]
1914 Powers widerspricht Mersenne auch für p = 107: 2p–1 ist prim. Fast gleichzeitig kommt auch E. Fauquembergue zu dieser Aussage.[5]
1930 Derrick Lehmer (1905–1991) formuliert den Lucas-Lehmer Test.
1932 Lehmer zeigt: M(149) und M(257) sind nicht prim[6], er rechnet dazu ein Jahr lang täglich zwei Stunden an einem Tischrechner.[7]
1934 Powers zeigt: M(241) ist nicht prim.[8]
1944 Horace S. Uhler zeigt: M(157) und M(167) sind nicht prim.[9]
1945 Uhler zeigt: M(229) ist nicht prim.[10]
1947 Uhler zeigt: M(199) ist nicht prim.[11]
1947 Der Bereich von 1 bis 257 ist nun vollständig überprüft. Man kennt jetzt die Mersenne-Primzahlen M(p) für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 und 127.[12]
1951 Beginn des Einsatzes von Computern. Die Länge der größten bekannten Primzahl steigt bis 1952 von 39 Stellen auf 687 Dezimalstellen.
1963 Donald Gillies entdeckt M(11.213) mit 3.376 Stellen.[13]
1996 Joel Armengaud und George Woltman entdecken mit GIMPS M(1.398.269) mit 420.921 Stellen.
1999 Mit M(6.972.593), die 2.098.960 Stellen hat, kennt man am 1. Juni erstmals eine Primzahl mit mehr als 1 Million Stellen.
2004 Am 15. Mai wird nachgewiesen, dass M(24.036.583), eine Zahl mit 7.235.733 Stellen, prim ist.
2005 Am 18. Februar wird vom GIMPS-Projekt die 42. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(25.964.951) hat 7.816.230 Stellen.

Ebenfalls vom GIMPS-Projekt wird am 15. Dezember die 43. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(30.402.457) hat 9.152.052 Stellen.

2006 Am 4. September vermeldet das GIMPS-Projekt die Entdeckung der 44. Mersenne-Primzahl M(32.582.657) mit 9.808.358 Stellen.
2008 Am 16. September werden vom GIMPS-Projekt die 45. und die 46. bekannte Mersenne-Primzahl veröffentlicht: M(37.156.667) (entdeckt am 6. September) mit 11.185.272 Stellen und M(43.112.609) (entdeckt am 23. August) mit 12.978.189 Stellen.
2009 Die 47. bekannte Mersenne-Primzahl M(42.643.801) wird vom GIMPS-Projekt am 12. April entdeckt und am 12. Juni veröffentlicht.
2013 Die 48. bekannte Mersenne-Primzahl M(57.885.161) wird vom GIMPS-Projekt am 25. Januar entdeckt.

Teilbarkeitseigenschaften der Mersenne-Zahlen[Bearbeiten]

Im Lauf ihrer langen Geschichte sind viele Ergebnisse über Mersenne-Zahlen gefunden worden. Außer der schon erwähnten grundlegenden Teilbarkeitseigenschaft (teilt r die Zahl n, so ist Mr Teiler von Mn) gibt es z. B. folgende Ergebnisse:

  • Ist n eine gerade Zahl und n+1 prim, so ist n+1 ein Teiler von Mn, z. B. M10 = 1023 = 3·11·31, M12 = 4095 = 3²·5·7·13.
  • Ist n eine ungerade Primzahl und q ein Primfaktor von Mn, so gilt q ≡ 1 (mod 2n) und q ≡ ±1 (mod 8). Beispiel: M11 = 2047 = 23·89 und 23 = 2·11+1; 89 = 4·2·11+1.
  • Wenn p eine Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4) ist, dann gilt die folgende Äquivalenz: 2p+1 teilt die Mersenne-Zahl Mp genau dann, wenn 2p+1 prim ist. Beispiel: 11 ist prim und lässt einen Rest von 3 bei Division mit 4. Da 23 (als Ergebnis von 2·11+1) prim ist, folgt: 23 teilt die Mersenne-Zahl M11 = 2047. Diese Aussage wurde von Leonhard Euler formuliert, aber erst später von Joseph-Louis Lagrange bewiesen (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl).
  • Ist Mp eine Primzahl > 3, dann ist Mp + 2 keine Primzahl (nämlich durch 3 teilbar). Mersenne-Primzahlen eignen sich also nicht als die kleinere Primzahl eines Primzahlzwillings.
  • Ist n = 2m (mit m > 0), so ist Mn das Produkt der Fermat-Zahlen F0 bis Fm-1. Beispiel: M16 = F0·F1·F2·F3 = 3·5·17·257.

Die Suche nach Mersenne-Primzahlen[Bearbeiten]

Für die Erzielung von Primzahl-Rekorden eignen sich Mersenne-Primzahlen in mehrfacher Hinsicht besonders gut, weil (a) zusammengesetzte Exponenten unberücksichtigt bleiben können, weil diese keine Primzahlen generieren, und deshalb eine Liste der Kandidaten für den Exponent p leicht mit Primzahlgeneratoren erstellt werden kann, (b) aus dieser Liste wie oben beschrieben die Sophie-Germain-Primzahlen mit p ≡ 3 (mod 4) ausgesondert werden können (wie z. B. p = 11 → Teiler 23), (c) durch den funktionalen Zusammenhang die Größenordnung der Primzahl exponentiell – nämlich zur Basis zwei – mit dem Argument p anwächst, man also schnell sehr große Zahlen erhält, (d) mit dem nachfolgend beschriebenen Lucas-Lehmer-Test ein einfacher und effektiver Primzahltest zur Verfügung steht.

Der Lucas-Lehmer-Test[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lucas-Lehmer-Test

Dieser Test ist ein speziell auf Mersenne-Zahlen zugeschnittener Primzahltest, der auf Arbeiten von Édouard Lucas aus der Zeit 1870 – 1876 beruht und im Jahr 1930 von Derrick Lehmer ergänzt wurde.

Er funktioniert wie folgt:

Sei p ungerade und prim. Die Folge S(k) sei definiert durch S(1) = 4, S(k+1) = S(k)2–2.
Dann gilt: Mp = 2p–1 ist genau dann eine Primzahl, wenn S(p–1) durch Mp teilbar ist.

GIMPS: Die große Internet-Mersenne-Primzahl-Suche[Bearbeiten]

Bisher (2013) kennt man 48 Mersenne-Primzahlen. Mit Computerhilfe versucht man, weitere Mersenne-Primzahlen zu finden. Da es sich um sehr große Zahlen handelt – die 48. Mersenne-Primzahl hat mehr als 17 Millionen Ziffern im Dezimalsystem – sind die Berechnungen (zeit- und organisations-)aufwendig. Rechenoperationen mit derart großen Zahlen werden von Computern nicht von Haus aus unterstützt. Man muss die Zahlen in großen Feldern abspeichern und die damit erforderlichen Grundrechenarten programmieren. Dies führt zu langen Programmlaufzeiten.

GIMPS (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) versucht daher, weltweit möglichst viele Computer an den Berechnungen zu beteiligen. Die dafür nötige Software (Prime95) wurde von George Woltman und Scott Kurowski erstellt und es gibt sie für eine Reihe von Computer-Plattformen (Windows, Unix, Linux …).

Jeder kann mitmachen, sofern er einen Rechner mit (zeitweise) freien CPU-Kapazitäten besitzt. Dazu muss man sich von der Website die Software herunterladen und dann installieren. Danach meldet man sich bei GIMPS und lässt sich eine Zahl geben, die man untersuchen soll. Wenn die Berechnungen erledigt sind (meist nach mehreren Monaten) meldet man das Ergebnis bei GIMPS zurück. Man bekommt dabei im Laufe der Computeranalyse auch Wahrscheinlichkeiten mitgeteilt: die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu finden (sehr klein, unter 1 %); die Wahrscheinlichkeit, einen Faktor zu finden (größer). Diese Wahrscheinlichkeit soll die Erfolgsaussichten für das Finden einer Primzahl deutlich machen.

Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen[Bearbeiten]

Graph der Anzahl von Ziffern bei den größten bekannten Mersenne-Primzahlen im Verhältnis zum Jahr, ab 1950, der jüngsten Ära elektronischer Rechenmaschinen. Beachte: die vertikale Skala ist eine zweifach logarithmische Skala des Wertes der Mersenne-Primzahl.
Nr. n Anzahl
Ziffern
von M(n)
Jahr Entdecker
1 2 1 - -
2 3 1 - -
3 5 2 - -
4 7 3 - -
5 13 4 1456 -
6 17 6 1555 Johann Scheubel
7 19 6 1555 Johann Scheubel
8 31 10 1772 Leonhard Euler
9 61 19 1883 Iwan Perwuschin
10 89 27 1911 Ralph Powers
11 107 33 1914 Ralph Powers
12 127 39 1876 Édouard Lucas
13 521 157 1952 Raphael M. Robinson
14 607 183 1952 Robinson
15 1279 386 1952 Robinson
16 2203 664 1952 Robinson
17 2281 687 1952 Robinson
18 3217 969 1957 Hans Riesel
19 4253 1281 1961 Alexander Hurwitz
20 4423 1332 1961 Hurwitz
21 9689 2917 1963 Donald B. Gillies
22 9941 2993 1963 Gillies
23 11.213 3376 1963 Gillies
24 19.937 6002 1971 Bryant Tuckerman
25 21.701 6533 1978 Landon Curt Noll, Laura Nickel
26 23.209 6987 1979 Noll
27 44.497 13.395 1979 David Slowinski, Harry Nelson
28 86.243 25.962 1982 Slowinski
29 110.503 33.265 1988 Walter Colquitt, Luther Welsh Jr.
30 132.049 39.751 1983 Slowinski
31 216.091 65.050 1985 Slowinski
32 756.839 227.832 1992 Slowinski, Paul Gage
33 859.433 258.716 1994 Slowinski, Paul Gage
34 1.257.787 378.632 1996 Slowinski, Paul Gage
35 1.398.269 420.921 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36 2.976.221 895.932 1997 GIMPS / Gordon Spence
37 3.021.377 909.526 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38 6.972.593 2.098.960 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
39 13.466.917 4.053.946 2001 GIMPS / Michael Cameron
40 20.996.011 6.320.430 2003 GIMPS / Michael Shafer
41 24.036.583 7.235.733 2004 GIMPS / Josh Findley
42 25.964.951 7.816.230 2005 GIMPS / Martin Nowak
43 30.402.457 9.152.052 2005 GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
44? 32.582.657 9.808.358 2006 GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
45? 37.156.667 11.185.272 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46? 42.643.801 12.837.064 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo
47? 43.112.609 12.978.189 2008 GIMPS / Edson Smith
48? 57.885.161 17.425.170 2013 GIMPS / Curtis Cooper

Bisher (Stand: 23. Februar 2014) ist nicht ausgeschlossen, dass es zwischen n=30.402.457 und n=57.885.161 neben den vier bekannten Mersenne-Primzahlen noch weitere gibt; deshalb ist die Nummerierung ab Nr. 44 noch ungewiss (und mit einem '?' versehen).

Offene Fragen[Bearbeiten]

Wie so oft in der Zahlentheorie gibt es auch zu Mersenne-Zahlen ungelöste Probleme, die sehr einfach zu formulieren sind:

  • Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Man vermutet aufgrund von plausiblen Heuristiken, dass es etwa c·ln(x) viele Mersenne-Primzahlen Mp gibt mit p < x (für eine positive Konstante c). Trifft dies zu, so gibt es tatsächlich unendlich viele Mersenne-Primzahlen.
  • Genauer, ist die Vermutung, die H. W. Lenstra und C. Pomerance unabhängig voneinander aufstellten, richtig, dass es asymptotisch e^\gamma \log_2(\log_2(x)) + O(1) viele Mersenne-Primzahlen gibt, die kleiner oder gleich x sind?[14]
  • Umgekehrt: gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen Mp mit p prim, die keine Primzahlen sind? Auch hier vermutet man als Antwort ja. Dies würde zum Beispiel aus der Vermutung, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind, folgen.
  • Sind alle Mersenne-Zahlen Mp mit p prim quadratfrei, d. h. kommt in der Primfaktorzerlegung der Zahl jeder Primfaktor genau einmal vor? Man konnte bisher noch nicht einmal beweisen, dass dies für unendlich viele Mersenne-Zahlen gilt.
  • Gilt die „neue Mersenne-Vermutung“? Die Folge von Mersenne-Primzahlen, die Mersenne angab, lässt vermuten, dass er meinte, dass eine Mersenne-Zahl Mp mit p prim genau dann prim ist, wenn p=2k±1 oder p=4k±3. Da diese Aussage nicht gilt, stellten P. Bateman, J. Selfridge und S. Wagstaff die neue Mersenne-Vermutung auf.
Diese besagt, dass aus zwei der folgenden drei Aussagen bereits die dritte folgt:
  1. n = 2k ± 1 oder n = 4k ± 3,
  2. 2n – 1 ist eine (Mersenne) Primzahl,
  3. (2n+1)/3 ist eine Primzahl.
Siehe hierzu auch: die neue Mersenne-Vermutung (engl.)
  • Sind alle Glieder der Folge C(0) = 2, C(k+1) = 2C(k) – 1 Primzahlen? Die stärkere Vermutung, dass alle Zahlen MMp Primzahlen sind, für die Mp eine Primzahl ist, konnte 1957 durch Raphael Robinson widerlegt werden. Diese letzteren Zahlen nennt man doppelte Mersenne-Zahlen (OEIS, A077585). Bisher sind doppelte Mersenne-Primzahlen nur für p = 2, 3, 5, 7 bekannt (OEIS, A077586); für p = 13, 17, 19 und 31 wurden kleine Faktoren gefunden.[15] Ob es weitere oder sogar unendlich viele doppelte Mersenne-Primzahlen gibt, bleibt unbekannt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Marin Mersenne: Cogitata Physico-Mathematica. In quibus tam naturae quàm artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris: Bertier, 1644, Praefatio generalis, Nr. XIX.
  2. Hudalrichus Regius: Vtrivsque Arithmetices epitome ex uarijs authoribus concinnata. Straßburg: Bartholomäus Grüninger, 1536, S. VIIIv-IXv, Kap. 6 (De perfecto [Über die vollkommenen Zahlen]).
  3. Johann Scheubel: Das sibend, acht vnd neunt buch, des hochberümbten Mathematici Euclidis Megarensis, in welchen der operationen vnnd regulen aller gemainer rechnung, vrsach grund vnd fundament, angezaigt wirt, zu gefallen allen den, so die kunst der Rechnung liebhaben [...] auß dem latein ins teütsch gebracht, vnnd mit gemainen exemplen also illustrirt vnnd an tag geben, das sy ein yeder gemainer Rechner leichtlich verstehn, vnnd ime nutz machen kan. Augsburg: Valentin Ottmar, 1555, S. CCXXXI-CXXXIIII (Euklid IX, 36), hier S. CCXXXIII.
  4. Ralph Ernest Powers: The Tenth Perfect Number. In: American Mathematical Monthly 18 (1911), Nr. 11, S. 195–197.
  5. Ralph Ernest Powers: A Mersenne prime. (PDF; 89 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1914), S. 531; Ralph Ernest Powers: Certain composite Mersenne's numbers. In: Proceedings of the London Mathematical Society 15 (1916), Nr. 2, S. xxii; E. Fauquembergue: Nombres de Mersenne. In: Sphinx-Œdipe 9 (1914), S. 103-105; 15 (1920), S. 17-18. Vgl. Chris K. Caldwell: M107: Fauquembergue or Powers?
  6. Derrick Henry Lehmer: Note on Mersenne Numbers. (PDF; 145 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 38 (1932), S. 383–384.
  7. http://pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_40_Num_2_Spring_1981.pdf
  8. Ralph Ernest Powers: Note on a Mersenne Number. (PDF; 69 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 40 (1934), S. 883.
  9. Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 1 (1944), S. 333, 404. Vgl. Charles B. Barker: Proof that the Mersenne Number M167 is Composite. (PDF; 70 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 51, 1945, p. 389; H. S. Uhler: Note on the Mersenne Numbers M157 and M167. (PDF; 107 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 52 (1946), S. 178.
  10. Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 2 (1945), S. 94.
  11. Horace S. Uhler: On Mersenne's Number M199 and Lucas's Sequences. (PDF; 212 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947), S. 163–164.
  12. Vgl. Horace S. Uhler: On All of Mersenne's Numbers Particularly M193. (PDF; 200 kB) In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 34 (1948), S. 102–103; Horace S. Uhler: On Mersenne's Number M227 and Cognate Data. (PDF; 320 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society 54 (1948), Nr. 4, S. 378–380; Raymond Clare Archibald: Mersenne Numbers. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 3 (1949), S. 398.
  13. Donald B. Gillies: Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory. In: Mathematics of Computation 18 (1964), S. 93–97. Vgl. Bryant Tuckerman: Corrections. In: Mathematics of Computation 31 (1977), S. 1051.
  14. C. Pomerance, "Recent developments in primality testing", Math. Intelligencer, 3:3, 1980/81, p. 97 - 105.
  15. Eric W. Weisstein: MathWorld – A Wolfram Web Resource., Artikel: Double Mersenne Number. (englisch)

Literatur[Bearbeiten]

  • Paulo Ribenboim: The new book of prime number records. 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94457-5 (Deutsch: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Auf den neuesten Stand gebracht von Wilfrid Keller. 2. vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Springer-Lehrbuch)).

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Mersenne-Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen