Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung.

Allgemeines

Mit den Materialgleichungen kann man die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

$\Delta \vec E = \frac{ \mu \epsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec E}{\partial t^2} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c^2} \frac{\partial \vec E}{\partial t}$

und

$\Delta \vec H = \frac{ \mu \epsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec H}{\partial t^2} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c^2} \frac{\partial \vec H}{\partial t}$.

Im Fall eines Isolators ist $\sigma = 0$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Jede dieser Gleichungen ist eine spezielle Form der Telegraphengleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung (wenn $a > 0$ hyperbolisch, bei < 0 elliptisch und = 0 parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form

$\Delta \vec F = a \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \frac{\partial \vec F}{\partial t}+c \vec F$.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potenzialgleichung) und entsprechend ist sie auch allgemein behandelbar.

Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\Delta F = a \frac {\delta^2 F} {\delta t^2} + b \frac {\delta F} {\delta t}$

Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ sowie b=σμ erhält man die Wellengleichung für ein verlustbehaftetes Dielektrikum.

$\Delta E = a \frac {\delta^2 E} {\delta t^2} + b \frac {\delta E} {\delta t}$

bzw.

$\Delta H = a \frac {\delta^2 H} {\delta t^2} + b \frac {\delta H} {\delta t}$

Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\Delta F = a \frac {\delta^2 F} {\delta t^2}$

Und tragen oberbegrifflich den Namen Wellengleichung. Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ, erhält man die Wellengleichungen elektromagnetischer Wellen im verlustfreien Raum.

$\Delta E = a \frac {\delta^2 E} {\delta t^2}$

bzw.

$\Delta H = a \frac {\delta^2 H} {\delta t^2}$

Ersetzt man F durch u oder durch i, so erhält man die Wellengleichung für die Ausbreitung von Spannungs- und Stromwellen längs verlustfreier Leitungen:

$\frac {\delta^2 u} {\delta x^2} = L'C' \frac {\delta^2 u} {\delta t^2}$

bzw.

$\frac {\delta^2 i} {\delta x^2} = L'C' \frac {\delta^2 i} {\delta t^2}$

Ersetzt man F durch die Auslenkung L von Masseteilchen und a durch den Kehrwert der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v, erhält man die Wellengleichung mechanischer Wellen:

$\frac {\delta^2 L} {\delta x^2} = \frac {1} {v} \frac {\delta^2 L} {\delta t^2}$

Telegraphengleichung mit a=0; b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\Delta F = b \frac {\delta F} {\delta t}$

und tragen oberbegrifflich den Namen Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung. Ersetzt man F durch E, H oder JL und wählt b=σμ, erhält man die Gleichungen für das Strömungsfeld in Leitern mit Stromverdrängung:

$\Delta E = \sigma \mu \frac {\delta E} {\delta t}$

bzw.

$\Delta H = \sigma \mu \frac {\delta H} {\delta t}$

bzw.

$\Delta J_{L} = \sigma \mu \frac {\delta J_{L}} {\delta t}$

Ersetzt man F durch die Temperatur T und b durch Cρ/λ (C spezifische Wärme, ρ Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit), so erhält man die partiellen Differentialgleichungen für räumlich-zeitliche Temperaturverteilungen:

$\Delta T = \frac {C \rho} {\lambda} \frac {\delta T} {\delta t}$

Quelle

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.