Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen \Delta, das der Großbuchstabe Delta des griechischen Alphabets ist, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung. Oftmals wird der Laplace-Operator auch bei der Berechnung der Verteilung von Schwerefeldern verwendet. Der skalare Laplace-Operator ist vom vektoriellen Laplace-Operator zu unterscheiden, der in den Wellengleichungen für elektromagnetische Felder auftritt.

Definition[Bearbeiten]

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld f die Divergenz seines Gradientenfeldes zu,

\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right)\,,

oder mit dem Nabla-Operator notiert

\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\,,

wobei vor allem im englischsprachigen Raum für den Laplace-Operator oft die ganz rechts aufgeführte Schreibweise \Delta = \nabla^2 zu finden ist.

Da der Divergenz-Operator \operatorname{div} und der Gradient-Operator \operatorname{grad} unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im n-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten


\Delta f = \sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over \partial x_k^2}\,.

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:


\Delta f = f''\,.

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:


\Delta f = \mathrm{Spur}(H(f))\,.

Darstellung[Bearbeiten]

In zwei Dimensionen[Bearbeiten]

Für eine Funktion f in kartesischen Koordinaten (x,y) ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,.

In Polarkoordinaten (r, \phi) ergibt sich

\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

oder

\Delta f =
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
\left( r\,\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\,.

In drei Dimensionen[Bearbeiten]

Für eine Funktion f mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten (x,y,z)

\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,.

In Zylinderkoordinaten (\rho ,\phi ,z ) ergibt sich

\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +
\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,,

und in Kugelkoordinaten ( r ,\vartheta ,\phi )

\Delta f = \frac{1}{r^2} 
\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2  \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin \vartheta}  \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \, \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta}  \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\,.

Diese Darstellung wird auch in ausgeklammerter Form verwendet, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:


 \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2  \,\frac{\partial f}{\partial r} \right)
 = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} 
 =  \frac{1}{r} \frac{\partial^2 }{\partial r^2} \Big( r f(r)\Big)\,.

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt (vektorieller Laplace-Operator) müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden.[1]

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten[Bearbeiten]

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, elliptischen Koordinaten gilt dagegen mit

\mathrm{d}\vec r=\sum_{i=1}^3\, a_i\,\vec e_i(u_1, u_2,u_3)\, \mathrm{d}u_i,

wobei \vec e_i\cdot \vec e_k = \delta_{i,k}\, ist (=1 für i=k, =0 sonst), wegen

{\rm{grad\,\,}} f = \sum_{i=1}^3\,\frac{\partial f}{a_i\,\partial u_i} \,\vec e_i,

wobei also nicht die \mathrm{d}u_i, sondern die Größen \mathrm dl_i:= a_i\cdot\mathrm{d}u_i die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, eine allgemeinere Beziehung für den Laplace-Operator, wobei zu beachten ist, dass die a_i nicht konstant sind, sondern von u_1, u_2 und u_3 abhängen können:

\Delta f ={\rm{div\,\,grad\,\,}}f = \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_1}}\left(\frac{a_2a_3\,\partial f}{a_1\,\partial u_1}\right)\,+\cdots\,.

Dabei sind durch die Punkte, ..., zwei Terme angedeutet, die aus dem ausgeschriebenen Term durch zyklische Permutation nach dem Schema 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1 hervorgehen. Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung (siehe unten).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt, sind f und g zweimal differenzierbare Funktionen und a und b Konstanten, so gilt

 \Delta (a\cdot f+b\cdot g) = a\cdot (\Delta f) + b\cdot (\Delta g).

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet

\Delta (fg) = f \Delta g + 2 \langle \nabla f , \nabla g\rangle + g \Delta f,

wobei f,g \colon U \to \R zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit U \subset \R^n sind und \langle \cdot , \cdot \rangle das euklidische Standardskalarprodukt ist.[2]

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt, ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Drehung, so gilt

\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)\,,

wobei „\circ“ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist \|\xi\|^2. Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

-\Delta \colon \mathcal{S}(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher eine Abschließung

-\Delta \colon H^2(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum H^2(\R^n) \subset L^2(\R^n).[3] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nicht negativen reellen Achse, das heißt

\sigma(-\Delta)\subset\R_0^+.

Die Eigenwertgleichung

- \Delta f = \lambda f

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist \Omega \subset \R^n ein beschränktes Gebiet und H^2_0(\Omega) der Sobolev-Raum mit den Randwerten f=0 in \partial \Omega. Dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators - \Delta \colon H^2_0(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega) ein vollständiges Orthonormalsystem von L^2(\Omega) und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in \infty einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.[4]

Anschaulich gibt Δƒ(p) für eine Funktion ƒ an einem Punkt p an, wie sich der Mittelwert von ƒ über konzentrische Kugelschalen um p mit wachsendem Kugelradius gegenüber ƒ(p) verändert.

Poisson- und Laplace-Gleichung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Poisson-Gleichung und Laplace-Gleichung

Definition[Bearbeiten]

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung

\Delta\varphi = 0

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

\Delta\varphi = f

heißt Poisson-Gleichung.

Green'sche Funktion[Bearbeiten]

Die Green'sche Funktion G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime}) des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

\Delta\, G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\delta(\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime})

mit der Delta-Distribution \delta auf der rechten Seite. Aus diesem Grund ist die Green'sche Funktion auch die Fundamentallösung der Poisson-Gleichung. Die Green'sche Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=-\frac{1}{4\pi\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime}) mit \Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0\,.

Diese Green'sche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet die Green'sche Funktion:

G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\frac{\ln(\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|)}{2\pi}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime}) mit \Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0\,.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

D'Alembert-Operator[Bearbeiten]

Hauptartikel: D'Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

 \square  =  \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators  \Delta auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator[Bearbeiten]

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Laplace-Filter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: \vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}
2D-Filter: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigt:

2D-Filter: \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html
  2. Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.
  3. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.
  4. Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S.334–335.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]