Laplace-Operator

Der Laplace-Operator Δ ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Wellengleichung für elektromagnetische Felder und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung. Oftmals wird der Laplace-Operator auch bei der Berechnung der Verteilung von Schwerefeldern verwendet.

Definition

Der Laplace-Operator ist für Skalarfelder definiert als

$\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f,$

wobei im englischsprachigen Raum für den Laplace-Operator mit Bezug auf den Nabla-Operator $\nabla$ oft die ganz rechts aufgeführte Schreibweise $\nabla^2$ zu finden ist.

Da die Differentialoperatoren div und grad (siehe Divergenz und Gradient) für beliebige Koordinatensysteme betrachtet werden können, ist die Definition unabhängig vom gewählten Koordinatensystem.

Im n-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

$\Delta= \sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}\,.$

Der Laplace-Operator einer Funktion kann daher auch als Spur ihrer Hessematrix dargestellt werden:

$\Delta f(x) = \mathrm{tr}(H(f)|_x)\,.$

Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator auf die zweite Ableitung:

$\Delta f(x) = \frac{\mathrm d^2 f(x)}{\mathrm dx^2}\,.$

Darstellung

In zwei Dimensionen

Für eine Funktion $f(x,y)$ mit zwei Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten

$\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,.$

In Polarkoordinaten ergibt sich mit $f(r, \phi )$

$\Delta f(r, \phi ) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

oder

$\Delta f(r, \phi ) = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\,.$

In drei Dimensionen

Für eine Funktion $f(x,y,z)$ mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten

$\Delta f(x,y,z) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,.$

In Zylinderkoordinaten mit $f ( \rho , \phi , z )$ ergibt sich

$\Delta f ( \rho , \phi , z ) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,,$

in Kugelkoordinaten mit $f ( r , \vartheta , \phi )$

$\Delta f ( r , \vartheta , \phi ) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \, \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\,.$

Diese Darstellung wird auch in ausgeklammerter Form verwendet, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 }{\partial r^2} \Big( r f(r)\Big)\,.$

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur bei Anwendung auf eine skalarwertige Funktion, bei der Anwendung auf eine vektorwertige Funktion müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden.

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, elliptischen Koordinaten gilt dagegen mit

$\mathrm{d}\vec r=\sum_{i=1}^3\, a_i\,\vec e_i(u_1, u_2,u_3)\, \mathrm{d}u_i$,

wobei $\vec e_i\cdot \vec e_k = \delta_{i,k}\,$ ist (=1 für i=k, =0 sonst), wegen

${\rm{grad\,\,}} f = \sum_{i=1}^3\,\frac{\partial f}{a_i\,\partial u_i} \,\vec e_i$,

wobei also nicht die $\mathrm{d}u_i$, sondern die Größen $\mathrm dl_i:= a_i\cdot\mathrm{d}u_i$ die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, eine allgemeinere Beziehung für den Laplace-Operator, wobei zu beachten ist, dass die $a_i$ nicht konstant sind, sondern von $u_1$, $u_2$ und $u_3$ abhängen können:

$\Delta f ={\rm{div\,\,grad\,\,}}f = \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_1}}\left(\frac{a_2a_3\,\partial f}{a_1\,\partial u_1}\right)\,+\cdots\,.$

Dabei sind durch die Punkte, ..., zwei Terme angedeutet, die aus dem ausgeschriebenen Term durch zyklische Permutation nach dem Schema 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1 hervorgehen. Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung (siehe unten).

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt, sind $f$ und $g$ zweimal differenzierbare Funktionen und $a$ und $b$ Konstanten, so gilt

$\Delta (a\cdot f+b\cdot g) = a\cdot (\Delta f) + b\cdot (\Delta g).$

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt, ist $f$ eine zweimal differenzierbare Funktion und $R$ eine Drehung, so gilt

$\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)\,,$

wobei „$\circ$“ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Der Operator

$-\Delta : H^2(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n), f\mapsto -\Delta f$

ist positiv, das heißt er ist ein selbstadjungierter Operator mit nicht negativem Spektrum

$\sigma(-\Delta)\subset\R_0^+$.

Dabei sind $H^2$ ein Sobolew-Raum und $L^2$ der Raum der quadratintegrablen Funktionen.

Anschaulich gibt Δƒ(p) für eine Funktion ƒ an einem Punkt p an, wie sich der Mittelwert von ƒ über konzentrische Kugelschalen um p mit wachsendem Kugelradius gegenüber ƒ(p) verändert.

Bemerkungen

Laplace-Gleichung

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

$\Delta\varphi = 0$

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

D'Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

$\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta$

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators $\Delta$ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Green'sche Funktion

Die Green'sche Funktion $G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})$ des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

$\Delta\, G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\delta(\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime})$

mit der Delta-Distribution $\delta$ auf der rechten Seite. Aus diesem Grund ist die Green'sche Funktion auch die Fundamentallösung der Poisson-Gleichung. Die Green'sche Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

$G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=-\frac{1}{4\pi\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})$ mit $\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0\,.$

Diese Green'sche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet die Green'sche Funktion:

$G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\frac{\ln(\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|)}{2\pi}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})$ mit $\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0\,.$

Verallgemeinerter Laplace-Operator

→ Hauptartikel: Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird ganz einfach als verallgemeinerter Laplace-Operator oder auch als Laplace-Beltrami-Operator bezeichnet. Er kann, wie der Laplace-Operator, als Divergenz des Gradientenfeldes definiert werden.

Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung

→ Hauptartikel: Laplace-Filter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: $\vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}$

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigt:

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Literatur

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage ISBN 3-8171-2004-4
• Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984, ISBN 3-528-27252-X

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? – Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten auf www.matheplanet.com