Todd-Klasse

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chern-Klassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse bzw. steht zu ihr in Beziehung wie ein normales zu einem ko-normalen Bündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).

Definition[Bearbeiten]

Um die Todd-Klasse \operatorname{td}(E) zu einem komplexen n-dimensionalen Vektorbündel E auf einem topologischen Raum X zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte

\begin{align}
Q(x) =& \frac{x}{1-e^{-x}}\\
     =& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k B_k}{k!} x^k = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{12}x^2 + \ldots
\end{align}

als formale Potenzreihe, wobei die Koeffizienten B_i die Bernoullizahlen sind. Falls E die \alpha_i als Chern-Wurzeln hat, ist

\operatorname{td}(E)=\prod_{i=1}^n Q(\alpha_i) = \prod_{i=1}^n \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k B_k}{k!} \alpha_i^k\,,

was im Kohomologiering von X berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung, falls man unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).

Die explizite Form der Todd-Klasse als formale Potenzreihe in den Chern-Klassen ist:

\operatorname{td}(E)=1+c_1 \cdot \frac{1}{2} + (c_1^2 + c_2)\cdot \frac{1}{12} + c_1 c_2 \cdot \frac{1}{24} + \ldots\,,

wobei die Kohomologieklassen c_i die Chern-Klassen von E sind und in der Kohomologiegruppe H^{2i}(X) liegen. Falls X endlichdimensional ist, verschwinden die meisten Terme und \operatorname{td}(E) ist ein Polynom in den Chern-Klassen.

Literatur[Bearbeiten]

  • J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, ISSN 0024-6115, S. 190–225.
  • Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7.