Komplexe Mannigfaltigkeit

Komplexe Mannigfaltigkeiten sind topologische Mannigfaltigkeiten mit Modellraum $\C^n$, deren Kartenwechselhomöomorphismen sogar biholomorph sind. Diese Objekte werden in der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie untersucht. Ihre Definition ist analog zu der Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, jedoch kann im Gegensatz zu den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht jede komplexe Mannigfaltigkeit in den $\C^n$ eingebettet werden.

Definitionen

Sei $M$ ein topologischer Hausdorff-Raum, welcher dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt.

Komplexer Atlas

Eine Karte ist eine offene Teilmenge $U\subset M$ zusammen mit einem Homöomorphismus

$\phi \colon U \to \phi(U) \subset \mathbb C^n$.

Eine Karte ist also ein 2-Tupel $(U, \phi)$.

Ein komplexer Atlas ist eine Menge solcher Karten, so dass

$M = \bigcup_{i \in \N} U_i$

gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten $(U_i, \phi_i)$ und $(U_j, \phi_j)$ die Kartenwechselabbildungen

$\phi_i\circ\phi_j^{-1}\colon\phi_j(U_i\cap U_j)\to\phi_i(U_i\cap U_j)$

biholomorph sind.

Komplexe Struktur

Eine komplexe Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist eine Äquivalenzklasse äquivalenter Atlanten. Zwei komplexe Atlanten sind äquivalent, falls alle Kartenwechselabbildungen der beiden Atlanten biholomorph sind.

Komplexe Mannigfaltigkeit

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum, der dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt und eine komplexe Struktur besitzt. Man sagt $M$ hat Dimension $n$, wenn die Kartenwechselhomöomorphismen in den $\C^n$ abbilden.

Eigenschaften

• Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 werden als Riemann'sche Flächen bezeichnet. Diese darf man nicht mit den Riemann'schen Mannigfaltigkeiten verwechseln.

• Jede komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n kann auch als glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 2n aufgefasst werden.

• Jede komplexe Mannigfaltigkeit ist orientierbar.

• Der Raum der holomorphen Funktion $\mathcal{O}(M)$ von M nach $\C$ enthält, falls M kompakt ist, nur die konstanten Funktion. Deshalb interessiert man sich dafür, ob eine komplexe Mannigfaltigkeit holomorph separabel ist.

• Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten können nicht in den $\C^n$ eingebettet werden.

Beispiele

• Der Vektorraum $\C^n$ und offene Teilmenge davon.
• Allgemeine Stein'sche Mannigfaltigkeiten
• Komplex-projektive Räume $\mathbb CP^n$
• Riemannsche Flächen wie zum Beispiel die riemannsche Zahlenkugel, die Jacobi-Varietät und die punktierte komplexe Ebene.
• Kählermannigfaltigkeiten

Fastkomplexe Mannigfaltigkeiten

Eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit ist der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die Tangentialräume sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit $i$ sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums $T_pM$ die Aufgabe der Abbildung $J_p$.

Fastkomplexe Struktur

Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ ist eine glatte Abbildung $J \colon TM\to TM$ mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung $J_p:=J|_{T_pM}$ auf den Tangentialraum zu jedem Punkt $p\in M$ eine bijektive lineare Abbildung ist, die

$J_p \circ J_p = - \mathrm{id}.$

erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit $i^2 = -1$.)

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf $M$.

Eigenschaften

• Seien $M$ und $N$ zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen $J_M$ und $J_N$. Eine stetig differenzierbare Abbildung $f\colon M\to N$ heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der Pushforward $df\colon TM\to TN$ von $f$ mit den fastkomplexen Strukturen von $M$ und $N$ verträglich ist, das heißt es muss
  $df\circ J_M = J_N\circ df$
  gelten.

• Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch $J v := i v$ für $v \in TM$ wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.

• Im reell zweidimensionalen (d.h. im komplex eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Dies kann man durch das Lösen der Beltrami-Gleichung zeigen.

Literatur

• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.