Chernklassen

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In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, sind Chernklassen ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die komplexen Vektorbündeln zugeordnet werden.

Chernklassen sind nach Shiing-Shen Chern benannt, der sie in den 1940er-Jahren erstmals allgemein definierte.

Grundidee und Motivation[Bearbeiten]

Chernklassen sind charakteristische Klassen, sie sind topologische Invarianten von Vektorbündeln über glatten Mannigfaltigkeiten, zwei isomorphe Vektorbündel haben dieselben Chernklassen. Die Chernklassen liefern also eine Möglichkeit zu verifizieren, dass zwei Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeiten verschieden sind, jedoch kann mit ihrer Hilfe nicht entschieden werden, dass zwei Vektorbündel isomorph sind (da nicht-isomorphe Vektorbündel dieselbe Chernklasse haben können).

In der Topologie, der Differentialgeometrie und der algebraischen Geometrie ist es oft wichtig, die maximale Anzahl linear unabhängiger Schnitte eines Vektorbündels zu bestimmen. Chernklassen ermöglichen, darüber etwas Information zu erhalten, zum Beispiel mit dem Riemann-Roch-Theorem oder dem Atiyah-Singer-Indexsatz. Das ist einer der Gründe, warum Chernklassen ein wichtiges Hilfsmittel der modernen Mathematik sind.

Chernklassen sind darüber hinaus in vielen Fällen der Praxis auch explizit berechenbar. In der Differentialgeometrie (und in Teilen der algebraischen Geometrie) können Chernklassen als Polynome in der Koeffizienten der Krümmungsform ausgedrückt werden.

Daher werden Chernklassen benutzt, um verschiedenste Probleme der Mathematik anzugehen.

Die Chernklasse eines Hermiteschen Vektorbündels auf einer glatten Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, \pi \colon V \to M ein hermitesches Vektorbündel mit Rang n über M und \nabla ein Zusammenhang auf V. Die k-te Chernform c_k(\nabla) von V ist dann durch die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms der Krümmungsform \Omega von V gegeben, das heißt


\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(\nabla) t^k.

Die Determinante wird über dem Ring der n \times n-Matrizen mit Einträgen aus dem Polynomring über der kommutativen Algebra der geraden komplexen Differentialformen auf M gebildet. Die Krümmungsform \Omega ist durch


\Omega=d\omega+\frac{1}{2}[\omega,\omega]

definiert, wobei \omega die Zusammenhangsform und d die äußere Ableitung ist.

Die, ebenfalls mit c_k bezeichnete, k-te Chernklasse c_k(V)\in H_{dR}^{2k}(M;\C) ist definiert als die de Rhamsche Kohomologieklassen der k-ten Chernform. Es kann gezeigt werden, dass die Chernklasse, also die Kohomologieklasse der Chernform, nicht von der Wahl des Zusammenhangs in V abhängt. Die Chernklasse ist also eine Invariante des Vektorbündels, während die Chernform vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Man kann zeigen, dass die Chernklassen im Bild von H^*(M;\Z)\rightarrow H^*(M;\C) liegen.

Beispiel: Das komplexe Tangentialbündel der Riemannschen Zahlenkugel[Bearbeiten]

Sei CP1 die Riemannsche Zahlenkugel, der eindimensionale komplexe Projektive Raum. Sei weiter z eine holomorphe lokale Koordinate, V = T\mathbf{CP}^1 das komplexe Tangentialbündel, die Vektoren haben an jedem Punkt die Form a\partial/\partial z, dabei bezeichnet a eine komplexe Zahl. Wir zeigen, dass V keinen nirgends verschwindenden Schnitt hat.

Dafür benötigen wir folgende Tatsache: Die erste Chernklasse eines trivialen Bündels ist Null, d. h.

c_1({\mathbf C\mathbf P}^1\times {\mathbf C})=0.

Davon kann man sich dadurch überzeugen, dass ein triviales Bündel stets eine flache Metrik hat.

Nun zeigen wir

c_1(V) \not= 0.

Betrachte dazu eine Mannigfaltigkeit mit der Kähler-Metrik

h = \frac{dzd\bar{z}}{(1+|z|^2)}.

Die Krümmungsform zu h ist dann durch

\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}.

gegeben. Nach Definition der ersten Chernklasse ist

c_1=\frac{i}{2\pi}\Omega.

Wir müssen zeigen, dass die Kohomologieklasse von c_1 von Null verschieden ist. Dazu berechnen wir das Integral

\int c_1=\frac{i}{\pi}\int \frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=2

durch Koordinatentransformation. Nach dem Satz von Stokes hätte das Integral einer exakten Form den Wert 0, also ist die Klasse von c_1 nicht die Nullklasse und T\mathbf{CP}^1 ist nicht trivial.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei V ein komplexes Vektorbündel über dem topologischen Raum X. Die Chernklassen von V sind eine Folge von Elementen der Kohomologie von X. Die k-te Chernklasse von V, die üblicherweise c_k(V) bezeichnet wird, ist ein Element von H^{2k}(X), der Kohomologie von X (mit ganzzahligen Koeffizienten). Man definiert auch die totale Chernklasse

c(V) = c_0(V) + c_1(V) + c_2(V) + \cdots

als Element von H^*(X).

Die Chernklassen genügen den folgenden vier Axiomen:

  • c_0(V) = 1 für jedes V.
  • Additivität: Ist W \to X ein weiteres komplexes Bündel, so ist die Chernklasse der Whitney-Summe V \oplus W durch
c(V \oplus W) = c(V) \cup c(W)
gegeben, das heißt für jedes k ist
c_k(V \oplus W) = \sum_{i = 0}^n c_i(V) \cup c_{k - i}(W).

Alexander Grothendieck hat diese Axiome durch etwas schwächere ersetzt:

  • Funktioralität: (siehe oben)
  • Additivität: Ist 0\rightarrow V'\rightarrow V\rightarrow V''\rightarrow 0 eine exakte Sequenz von Vektorbündeln, dann ist c(V)=c(V')\cup c(V'').
  • Normalisierung: Ist V ein Geradenbündel, dann ist c(V)=1+e(V_{\mathbf R}), dabei bezeichnet e(V_{\mathbf R}) die Eulerklasse des V zugrunde liegenden reellen Vektorbündels.

In der Tat charakterisieren diese Eigenschaften die Chernklassen eindeutig. Einige wichtige Folgerungen sind

  • Ist n der Rang von V, so ist c_k(V) = 0 für jedes k > n (die totale Chernklasse ist insbesondere wohldefiniert).
  • Die höchste Chernklasse von V (also c_n(V), n der Rang von V) ist immer gleich der Eulerklasse des zugrunde liegenden reellen Vektorbündels.

Da die Chernklassen hier Kohomologieklassen mit ganzen Koeffizienten sind, sind sie etwas feiner als die oben im Riemannschen Beispiel betrachteten, die reelle Koeffizienten hatten.

Konstruktion von Chernklassen[Bearbeiten]

Es gibt mannigfache Wege, sich dem Ziel zu nähern, jeder einzelne fokussiert einen etwas anderen Aspekt der Chernklassen.

Die ursprüngliche Herangehensweise war algebraische Topologie: Chernklassen entstehen über Homotopietheorie, die eine Abbildung von X in einen klassifizierenden Raum (in diesem Fall eine unendliche Graßmann-Mannigfaltigkeit). Jedes Vektorbündel V über einer Mannigfaltigkeit kann als Pullback eines universellen Bündels über dem klassifizierenden Raum dargestellt werden, und die Chernklassen von V können daher als Pullback der Chernklassen des universellen Bündels definiert werden, welche wiederum explizit durch Schubertzykel ausgedrückt werden können.

Cherns Zugang verwandte Differentialgeometrie und den oben beschriebenen Zugang über die Krümmungsform. Er zeigte, dass beide Zugänge äquivalent sind.

Der axiomatische Zugang von Alexander Grothendieck zeigt, dass man die Chernklassen nur für Geradenbündel festlegen muss.

Chernklassen treten auch in der algebraischen Geometrie auf natürliche Weise auf. Die verallgemeinerten Chernklassen der algebraischen Geometrie können für lokal freie Garben über jeder nichtsingulären Varietät definiert werden. Die Chernklassen der algebraischen Geometrie verlangen vom zugrundeliegenden Körper nur die algebraische Abgeschlossenheit, insbesondere müssen Vektorbündel nicht unbedingt komplex sein.

Vom gewählten Zugang unabhängig ist die intuitive Bedeutung einer Chernklasse die von 'benötigten Nullstellen' eines Vektorbündelschnittes: Zum Beispiel die Aussage, dass man einen Igel nicht kämmen kann. Auch wenn dies eigentlich eine Frage betreffend reelle Vektorbündel ist (die "Stacheln" des Igels sind reelle Geraden), gibt es Verallgemeinerungen, in denen die Stachel komplex sind, oder für den eindimensionalen projektiven Raum über anderen Körpern.

Chernklassen von Geradenbündeln[Bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall ist der eines Geradenbündels V. Die einzige nichttriviale Chernklasse ist in diesem Fall die erste, die ein Element der zweiten Kohomologiegruppe von X ist. Da sie die höchste Chernklasse ist, ist sie gleich der Eulerklasse des Bündels.

Die erste Chernklasse erweist sich als eine vollständige Invariante, die die komplexen Geradenbündel klassifiziert. Das heißt, dass eine Bijektion zwischen den Isomorphieklassen komplexer Geradenbündel über X und den Elementen von H^2(X) gibt, man ordnet hierbei jedem Bündel seine erste Chernklasse zu. Die Addition in H^2(X) entspricht unter dieser Bijektion dem Tensorprodukt.

In der algebraischen Geometrie ist diese Klassifikation der komplexen Geradenbündel durch die erste Chernklasse eine erste Annäherung an die Klassifikation holomorpher Geradenbündel durch lineare Äquivalenzklassen von Divisoren.

Die Chernklassen sind für komplexe Bündel einer größeren Dimension keine vollständige Invariante mehr.

Chernklassen fast-komplexer Mannigfaltigkeiten und Kobordismustheorie[Bearbeiten]

Die Theorie der Chernklassen liefert Kobordismus-Invarianten fast-komplexer Mannigfaltigkeiten.

Ist X eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit, so ist sein Tangentialbündel ein komplexes Vektorbündel. Dessen Chernklassen werden auch als die Chernklassen von X bezeichnet. Ist X kompakt und geradedimensional, etwa 2d-dimensional, dann kann jedes Monom vom Totalgrad 2d in den Chernklassen von X mit der Fundamentalklasse von X gepaart werden und liefert eine ganze Zahl, eine Chernzahl von X. Ist Y eine weitere fast komplexe Mannigfaltigkeit derselben Dimension, dann sind X und Y genau dann kobordant, wenn sie dieselben Chernzahlen haben.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Es gibt eine Verallgemeinerung der Theorie der Chernklassen, in der die gewöhnliche Kohomologietheorie durch eine verallgemeinerte ersetzt wird, die die Zusatzeigenschaft der komplexen Orientierbarkeit haben muss. Die formalen Eigenschaften der Chernklassen bleiben die dieselben, nur ist in der Regel, die die erste Chernklasse eines Tensorproduktes von Geradenbündeln berechnet, die Addition durch die entsprechende Operation zu ersetzen.

Chernzahlen[Bearbeiten]

Auf orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimension 2d kann jedes Produkt von Chernklassen vom Totalgrad 2d mit der Fundamentalklasse gepaart werden und liefert so eine ganze Zahl, eine Chernzahl des Vektorbündels. Hat die Mannigfaltigkeit beispielsweise Dimension sechs, so ergeben sich die verschiedenen Chernzahlen aus c_1^3, c_1c_2 und c_3. Im Allgemeinen ist die Anzahl der verschiedenen Chernzahlen die Anzahl der Partitionen von d.

Wie oben erwähnt, sind die Chernzahlen des Tangentialbündels eine (fast) komplexen Mannigfaltigkeit eine wichtige Invariante.

Der Cherncharakter[Bearbeiten]

Chernklassen können verwandt werden, um einen Ringhomomorphismus von der topologischen K-Theorie eines Raumes in die Vervollständigung seiner rationalen Kohomologie zu konstruieren. Dieser Cherncharakter ist für Geradenbündel V durch

\hbox{ch}(V) = \exp(c_1(V))

gegeben.

Für Summen von Geradenbündeln wird der Cherncharakter durch Additivität definiert, hieraus ergibt sich eine Darstellung der Cherncharakters durch die Chernklassen. Diese wird verwandt, um den Cherncharakter für alle Vektorbündel zu definieren, die ersten Terme sind

\hbox{ch}(V) = \dim V + c_1(V) + c_1(V)^2/2 - c_2(V) + \ldots

Ist V die Summe der Geradenbündel L_1, \ldots, L_k mit ersten Chernklassen x_1, \ldots, x_k, so ist

\hbox{ch}(V)=e^{x_1}+\dots+e^{x_k}.

Im differentialgeometrischen Zugang über die Krümmung ist der Cherncharakter explizit durch

\hbox{ch}(V)=\hbox{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)

gegeben, dabei bezeichnet \Omega die Krümmung.

Der Cherncharakter hilft beispielsweise bei der Berechnung der Chernklassen eines Tensorproduktes. Genauer besitzt er die beiden folgenden Eigenschaften

\hbox{ch}(V\oplus W)=\hbox{ch}(V)+\hbox{ch}(W)
\hbox{ch}(V\otimes W)=\hbox{ch}(V)\hbox{ch}(W)

Die erste dieser Formeln kann, wie oben erwähnt, mit Hilfe des Grothendieckschen Additivitätsaxioms für Chernklassen zu der Aussage verallgemeinert werden, dass \hbox{ch} ein Homomorphismus abelscher Gruppen von der K-Theorie K(X) in die rationale Kohomologie von X ist. Die zweite Gleichung besagt, dass dieser Homomorphismus multiplikativ ist, also sogar ein Homomorphismus von Ringen ist.

Pontrjagin-Klassen[Bearbeiten]

Für ein reelles Vektorbündel V über einem topologischen Raum X definiert man die Pontrjagin-Klassen p_i(V)\in H^{4i}(X) durch

p_i(V):=c_{2i}(V\otimes{\mathbb C}).

Hierbei ist V\otimes{\mathbb C} die Komplexifizierung des reellen Vektorbündels V. (Man kann zeigen, dass stets c_{2i+1}(V\otimes{\mathbb C})=0 ist, weshalb man nur die geraden Chern-Klassen betrachtet.)

Nowikow bewies, dass die rationalen Pontrjaginklassen des Tangentialraums differenzierbarer Mannigfaltigkeiten invariant unter Homöomorphismen sind. Sie sind aber nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen. Die Novikov-Vermutung besagt, dass (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) gewisse Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen invariant unter Homotopie-Äquivalenzen sind.

Der Signatursatz von Hirzebruch besagt, dass sich die Signatur geschlossener differenzierbarer Mannigfaltigkeiten als eine Kombination von Pontrjagin-Klassen (das L-Polynom) berechnen läßt. Aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz folgt, dass sich auch der Index des Dirac-Operators einer Spin-Mannigfaltigkeit als eine Kombination von Pontrjagin-Klassen (das Â-Polynom) berechnen läßt.

Literatur[Bearbeiten]