Unendlicher Abstieg

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Das Prinzip des unendlichen Abstiegs ist ein spezielles mathematisches Beweisverfahren, das auf dem Prinzip des Widerspruchsbeweises basiert. Hierbei wird ausgenutzt, dass es in der Menge der natürlichen Zahlen keine unendliche Folge kleiner werdender Zahlen geben kann, was gleichbedeutend dazu ist, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt. Das Prinzip des unendlichen Abstiegs wird typischerweise verwendet, um zu zeigen, dass eine gegebene Gleichung keine Lösung besitzt.

Ursprung[Bearbeiten]

Die Methode des unendlichen Abstiegs wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat entwickelt. Er nutzte das Prinzip, um einige seiner mathematischen Ergebnisse zu beweisen. Unter anderem wurde der Spezialfall n=4 von Fermats großem Satz mit dieser Methode bewiesen.

Allgemeines Vorgehen[Bearbeiten]

Die Aufgabe besteht darin, zu beweisen, dass ein gegebenes mathematisches Problem keine Lösung in den natürlichen Zahlen besitzt. Der Beweis startet nun mit der Annahme der Existenz einer Lösung. Aus dieser Lösung konstruiert man mit Hilfe der Eigenschaften der natürlichen Zahlen und der Problemstellung eine noch kleinere Lösung. Diesen Prozess kann man wiederholen, indem man nun von der gerade gefundenen kleineren Lösung ausgeht, und so erhält man immer kleinere Lösungen in den natürlichen Zahlen. Man kommt also zu einer unendlichen, absteigenden Folge natürlicher Zahlen, die es aber nicht geben kann, denn unterhalb einer natürlichen Zahl liegen nur endlich viele weitere. Dieser Widerspruch zeigt, dass von einer falschen Annahme ausgegangen wurde. Die einzige getroffene Annahme aber war die Existenz einer Lösung. Dies ist somit die einzig mögliche Fehlerquelle. Folglich existiert keine Lösung für dieses Problem.

Vergleich mit dem Induktionsprinzip[Bearbeiten]

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion ist äquivalent zu der Aussage, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt. Letzteres ist äquivalent zu der Aussage, dass es keine unendlichen Folgen kleiner werdender natürlicher Zahlen geben kann:

Wenn es keine unendlichen, absteigenden Folgen in den natürlichen Zahlen gibt, dann hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element. Hätte man nämlich eine nichtleere Teilmenge ohne kleinstes Element, so könnte man zu jedem Element dieser Teilmenge ein noch kleineres finden und so eine unendliche, absteigende Folge konstruieren.

Wenn umgekehrt jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt, so kann es keine unendliche, absteigende Folge natürlicher Zahlen geben, denn die Menge der Folgenglieder einer solchen Folge könnte kein kleinstes Element haben.

Daher beruht das Prinzip des unendlichen Abstiegs ebenfalls auf der Tatsache, dass jede nichtleere Menge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element hat.

Beispiel[Bearbeiten]

Zu zeigen: Die Wurzel aus 2 ist irrational.

Beweis: Wir nehmen an, die Wurzel aus 2 sei rational.

Das bedeutet (weil \sqrt 2 gewiss positiv ist), dass es natürliche Zahlen x,y gibt mit \sqrt{2}=\tfrac{x}{y}. Wir zeigen, dass es zu jedem y, zu dem es ein x mit \sqrt{2}=\tfrac{x}{y} gibt, ein noch kleineres y_1 mit derselben Eigenschaft gibt.

Wegen x^2 = 2 y^2 > y^2 ist gewiss x>y, also ist y_1:=x-y eine natürliche Zahl. Ebenso ist wegen (2y)^2 > 2\cdot y^2 = x^2 gewiss 2y>x und somit x_1:=2y-x eine natürliche Zahl. Aus 2y>x folgt außerdem noch  y>x-y= y_1.

Nun rechnet man unter Benutzung von x^2=2y^2 nach: x_1^2 = (2y-x)^2 = 4 y^2 - 4 x y + x^2 = 2 y^2 + x^2 - 4x y + x^2 = 2\cdot(y^2-2 x y +x^2) = 2\cdot (x-y)^2 = 2 y_1^2 und daher \sqrt 2 = \tfrac{x_1}{y_1}. Also ist y_1 < y tatsächlich eine natürliche Zahl, zu der es eine natürliche Zahl x_1 mit \sqrt 2 = \tfrac{x_1}{y_1} gibt.

Das Prinzip des unendlichen Abstiegs führt also zum gewünschten Widerspruch. Folglich ist die Wurzel aus 2 irrational.

Quellen[Bearbeiten]