Großer fermatscher Satz

Pierre de Fermat

Der Große Fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1995 von Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen. Er besagt: Ist n eine natürliche Zahl größer als 2, so kann die $n$-te Potenz jeder natürlichen Zahl ungleich null nicht in die Summe zweier $n$-ter Potenzen natürlicher Zahlen ungleich null zerlegt werden. Formal bedeutet dies:

Die Gleichung

$a^n + b^n = c^n$

mit $a,b,c \in \mathbb{N}$ besitzt für keine natürliche Zahl $n>2$ eine Lösung.

Der Große Fermatsche Satz ist wegen der mehr als 350 Jahre dauernden Geschichte der Versuche, ihn zu beweisen, an denen sich seit Leonhard Euler zahlreiche führende Mathematiker, wie etwa Ernst Eduard Kummer, beteiligt haben, in vielerlei Hinsicht außergewöhnlich. Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben ihn weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht. Der schließlich erbrachte Beweis, an dem neben Andrew Wiles auch Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Barry Mazur, Ken Ribet und Richard Taylor beteiligt waren oder wichtige Vorarbeit geleistet haben, gilt als ein, wenn nicht der, Höhepunkt der Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Bezeichnungen

Für diesen Satz existieren verschiedene Bezeichnungen. Die im Deutschen häufigste ist Großer fermatscher Satz und daraus abgeleitet großer Fermat, im Gegensatz zum kleinen fermatschen Satz bzw. kleinen Fermat. Da von Fermat selbst kein Beweis überliefert ist, handelte es sich strenggenommen zunächst nur um eine Vermutung. Daher wird auch der Begriff Fermatsche Vermutung verwendet, doch auch schon vor dem Beweis wurde vom Fermatschen Satz gesprochen. Um Wiles, den Finder des Beweises mit einzubeziehen, ist auch vom Satz von Fermat-Wiles die Rede. Im Englischen wird der Satz als Fermat’s Last Theorem bezeichnet, was im Deutschen manchmal (ungenau) als Fermats letzter Satz, bzw. Fermats letztes Theorem übersetzt wird.

Ursprung

Buchdeckel der von Pierre de Fermats Sohn Clément-Samul veröffentlichten Version der Arithmetica des Diophantos von 1670 mit den Bemerkungen seines Vaters.

Diese Seite der Arithmetica von 1670 enthält Pierre de Fermats Randbemerkung

Vermutlich zwischen 1637 und 1643, ein genaues Jahr lässt sich naturgemäß nicht angeben, schrieb Fermat bei der Lektüre der Arithmetika des Diophantos von Alexandria neben die 8. Aufgabe des zweiten (griechischen) "Buches" folgende Zeilen als Randbemerkung in sein Handexemplar dieses Werkes:

„Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

„Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

Dass Fermat einen Beweis für den Spezialfall $n = 4$ gefunden hatte, von dem er vielleicht glaubte, ihn verallgemeinern zu können, ist offenkundig, denn dieser Spezialfall ist eine leichte Folgerung aus einem von ihm explizit bewiesenen Satz: Area trianguli rectanguli in numeris non potest quadratus. (Der Flächeninhalt eines pythagoräischen Dreiecks kann keine Quadratzahl sein.), den er inklusive Beweis an den Rand neben der 26. Aufgabe des 6. (griechischen) "Buches" der Arithmetika geschrieben hat. André Weil hat zudem ziemlich überzeugend nachgewiesen, dass Fermat alle Mittel besaß, auch den Fall $n=3$ mit seiner Methode zu beweisen.

Die im Jahr 1995 im Beweis von Wiles benutzten Theorien waren über 350 Jahre früher noch nicht einmal ansatzweise entwickelt. Das schließt jedoch nicht mit Sicherheit aus, dass eines Tages noch ein einfacherer Beweis gefunden wird, der mit elementareren Mitteln auskommt. Aber dass Fermat einen solchen gefunden haben könnte, wird heute von den meisten Zahlentheoretikern bezweifelt. Das sicherste Zeichen, dass Fermat keinen Beweis gefunden hatte, ist, dass er nie gegenüber einem seiner Korrespondenten den Satz und einen Beweis desselben erwähnt hat. Fermats Randbemerkung war zudem nur für ihn selbst bestimmt. Mit einer Veröffentlichung durch seinen Sohn Samuel konnte er nicht rechnen.

Verbreitung

Nach dem Tode Fermats gerieten seine zahlentheoretischen Entdeckungen lange Zeit in Vergessenheit, da er seine Erkenntnisse nicht hatte drucken lassen und seine Zeitgenossen unter den Mathematikern sich für Zahlentheorie nicht wirklich interessierten, Bernard Frenicle de Bessy ausgenommen. Sein älterer Sohn Samuel veröffentlichte fünf Jahre nach dem Tod seines Vaters eine Neuauflage der Arithmetika, in der auch die achtundvierzig Bemerkungen seines Vaters eingefügt waren. Die zweite dieser Randnotizen wurde dann in weiterer Folge als Fermatsche Vermutung bekannt. Die Notizen enthielten zwar eine Reihe von fundamentalen mathematischen Sätzen, aber Beweise dazu oder auch nur einfache Erklärungen, wie Fermat zu diesen Resultaten gekommen war, fehlten meistens, aber nicht in allen Fällen. So ist eine der wichtigsten Erkenntnisse Fermats, das berühmte Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus neben der 26. Aufgabe des 6. "Buches" der Arithmetika mit einem vollständigen Beweis versehen. Hier verwendet Fermat seine Methode des unendlichen Abstiegs. Es war den nachfolgenden Mathematikern überlassen, vor allem und zuerst Leonhard Euler, die fehlenden Beweise, nach und nach, zu finden.

Unsicherheit

In diesem Kontext entwickelte sich in den folgenden Jahrhunderten speziell der große fermatsche Satz zu einer Knacknuss für viele Mathematiker – niemand konnte ihn beweisen oder widerlegen. Weil aber Fermat selbst die Existenz eines „wunderbaren Beweises“ behauptet hatte, versuchten Generationen von Mathematikern – darunter auch die bedeutendsten ihrer Zeit –, ihn zu finden. Auch die anderen Bemerkungen Fermats sollten sich als schwierige, jahrelange Arbeit für seine Mathematikerkollegen erweisen. Die Bemühungen führten aber – sozusagen nebenbei – zu einer Vielzahl bedeutender Entdeckungen.

Ausnahme n = 1, n = 2

Für $n=1$ und $n=2$ hat $a^n + b^n = c^n$ unendlich viele Lösungen mit $a,b,c \in \mathbb{N}$. Für $n=1$ ist die Gleichung einfach $a+b=c$ und es lassen sich beliebige $a,b$ für Lösungen wählen. Für $n=2$ sind die Lösungen die pythagoreischen Zahlentripel.

Beweise für Spezialfälle des Satzes

Spezielle Fälle des großen fermatschen Satzes konnten schon früh bewiesen werden:

n = 3, n = 4 und Vielfache dieser Zahlen

Bernard Frénicle de Bessy publizierte schon 1676 einen ersten Beweis für den Fall $n=4$.

Leonhard Euler veröffentlichte 1738 einen Beweis für den Fall $n=4$. Später konnte er mit Hilfe der imaginären Zahlen die Behauptung auch für den Fall $n=3$ bestätigen, den er 1770 publizierte. Damit war die fermatsche Vermutung auch für alle $n$, die ein Vielfaches von 3 oder 4 sind, bewiesen. Euler gelang es aber nicht, seine Beweismethode auf weitere Fälle auszudehnen.

Für den Fall $n=4$ sind mittlerweile mindestens 20 verschiedene Beweise gefunden worden. Für $n=3$ existieren mindestens 14 verschiedene Beweise.

4 und Primzahlen reichen aus

Bald darauf wurde klar, dass es ausreicht, den fermatschen Satz für alle Primzahlen größer als 2 und für die Zahl 4 zu beweisen. Denn jede natürliche Zahl $n>2$, die keine Primzahl ist, ist durch 4 oder eine Primzahl teilbar. Ist nun $e$ entweder 4 oder eine Primzahl, $d$ eine natürliche Zahl und $n=de$ sowie $a^n + b^n = c^n$ eine Lösung für den Exponenten $n$, so gibt es auch eine Lösung für den Exponenten $e$, nämlich $\left(a^d\right)^e+\left(b^d\right)^e=\left(c^d\right)^e$.

Doch auch bei den Primzahlen hat man es mit einer unendlich großen Zahlenmenge zu tun und damit auch mit unendlich vielen zu beweisenden Fällen.

n = 5 und alle Sophie-Germain-Primzahlen

Im Jahre 1825 konnten Peter Gustav Lejeune-Dirichlet und Adrien-Marie Legendre den Satz für $n=5$ beweisen. Sie stützten sich dabei auf die Vorarbeit von Sophie Germain. Germain meinte, dass die fermatsche Vermutung vermutlich für alle Sophie-Germain-Primzahlen gilt. „Vermutlich“ soll heißen, dass, wenn es Lösungen gäbe, $a$, $b$, oder $c$ Vielfache von $n$ sein müssten; diese Bedingung ist auch als zweiter Fall bekannt. Bis zu den Arbeiten von Wiles und Taylor war jedoch weder für den ersten Fall ($n\nmid abc$) noch für den zweiten Fall ($n\mid abc$) ein allgemeiner Beweis bekannt.

n = 14 und n = 7

Dirichlet konnte 1832 für den Fall $n=14$ den Beweis erbringen. Im Jahre 1839 zeigte Gabriel Lamé, dass auch der Fall $n=7$ Gültigkeit besitzt. Ebenso wie Augustin-Louis Cauchy war Lamé noch im März 1847 überzeugt, den vollständigen Beweis für die fermatsche Vermutung innerhalb von Wochen der französischen Akademie der Wissenschaften vorlegen zu können.

Später wurden auch einfachere Varianten des Beweises für $n=7$ gefunden.

Weitere Einzelfälle

Im Jahr 1885 legte G. B. Matthews einen Beweis für die Fälle $n=11$ und $n=17$ vor. J. Fell publizierte 1943 einen Artikel, in dem er eine Methode für $n=11$ darlegte, die auch für $n=17$ und $n=23$ anwendbar sein sollte.

Alle regulären Primzahlen

Die von Cauchy und Lamé 1847 geäußerte Hoffnung auf einen schnellen (und allgemeinen) Beweis wurde aber von Ernst Eduard Kummer zunichtegemacht, der einen Denkfehler in den Überlegungen Lamés und Cauchys entdeckte: Sie waren stillschweigend davon ausgegangen, dass im ganzen Abschluss der ganzen Zahlen in den von ihnen betrachteten Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen (Kreisteilungskörpern der Ordnung $p$) für die jeweilige Fermatgleichung zum Exponent $p$ (er entsteht durch Adjunktion der $p$-ten Einheitswurzeln) noch die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.

Kummer entwickelte eine Theorie, in der sich die eindeutige Primfaktorzerlegung retten ließ, indem man bestimmte Mengen von Zahlen des Zahlkörpers (Ideale) zusammenfasst und die Arithmetik dieser neuen „idealen Zahlen“ untersucht. Er konnte damit den großen fermatschen Satz 1846 für reguläre Primzahlen beweisen; dabei heißt eine Primzahl $p$ regulär, wenn keine der Bernoulli-Zahlen $B_0,B_2,\ldots,B_{p-3}$ durch $p$ teilbar ist. In diesem Fall ist die Klassenzahl – also die Anzahl der nicht äquivalenten Idealklassen – des Kreisteilungskörpers der Ordnung $p$ nicht durch $p$ teilbar. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt.

Mit Hilfe des Computers und mit Weiterentwicklung der Methoden von Kummer gelang es Harry Vandiver schon Anfang der 1950er Jahre, den Satz für alle Primzahlen kleiner als 2000 zu beweisen. Die Grenze konnte mit Hilfe des Computers noch erheblich nach oben verschoben werden, einem Beweis der Fermatschen Vermutung kam man aber auf diesem Weg nicht näher, sie wurde nur plausibler.

Höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen für n ≥ 4 bei festem n

Aus der Vermutung von Mordell – bewiesen 1983 durch Gerd Faltings – folgt als Spezialfall, dass, falls eine der Fermatschen Gleichungen für n ≥ 4 eine Lösung besitzt, diese nur höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen besitzen kann.

Wolfskehl-Preis

Die Suche nach einem allgemeinen Beweis wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts durch das Testament des Darmstädter Arztes und Mathematikers Paul Friedrich Wolfskehl auch materiell motiviert. Einer später erzählten Legende zufolge war sein Schicksal auf seltsame Weise mit dem Fermatschen Satz verbunden. Als seine Liebe zu einer Frau von dieser nicht erwidert wurde, fasste er den Entschluss, sich selbst zu töten. Er setzte den Zeitpunkt seines Freitodes genau auf Mitternacht fest. Um die Zeit bis zu seinem Freitod zu überbrücken las er noch einmal eine der einschlägigen Arbeiten Ernst Eduard Kummers zur Fermatschen Vermutung und glaubte, darin einen Fehler gefunden zu haben. Er begann das genau nachzuprüfen und vergaß darüber die Zeit. Als Wolfskehl schließlich herausgefunden hatte, dass Kummer keinen Fehler gemacht hatte, war die geplante Zeit seines Suizids bereits vorbei, und er beschloss, seinen Plan aufzugeben. Aus Dankbarkeit dafür, dass Fermat ihm quasi das Leben gerettet hatte, änderte er sein Testament. - Das ist aber eine durch nichts belegte Legende.

Als er dann 1906 eines natürlichen Todes (Multiple Sklerose) starb, wurde bekannt, dass er in seinem Letzten Willen für denjenigen einen Preis von 100.000 Goldmark ausgesetzt hatte, der zuerst einen vollständigen Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlichen würde. Daraufhin wurde 1908 von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen der Wolfskehl-Preis ausgeschrieben. Einsendeschluss für dieses Unterfangen sollte der 13. September 2007 sein. Im Jahr 1997 wurde der Preis, der noch 75.000 DM wert war, an Andrew Wiles ausbezahlt.

Der Beweis

Im Jahr 1993 kündigte Andrew Wiles in Vorträgen am Isaac Newton Institute in Cambridge einen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung an, wodurch auch der große fermatsche Satz bewiesen wäre. Der Beweis war jedoch lückenhaft. Zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor konnte Wiles im Jahr 1994 die Lücken schließen und somit auch den großen fermatschen Satz beweisen (Lit.: Wiles, 1995). Der Kern der ohne Anhang und Literaturverzeichnis 98-seitigen Arbeit besteht aus einem zweiteiligen Beweis durch Widerspruch:

• Sind $a,b,c,n$ mit $a^n + b^n = c^n$ ein Gegenbeispiel zum fermatschen Satz, so ist die elliptische Kurve
  $y^2 = x \cdot (x - a^n) \cdot (x + b^n)$
  nicht modular. Dies war 1986 von Gerhard Frey vermutet und über einen Beitrag von Jean-Pierre Serre 1990 durch Ken Ribet bewiesen worden.
• Gemäß der Taniyama-Shimura-Vermutung (nach Yutaka Taniyama und Gorō Shimura, manchmal auch nach André Weil benannt) sind jedoch alle elliptischen Kurven modular. Diese Vermutung bewiesen Wiles und Taylor im Jahr 1994 für eine große Klasse von elliptischen Kurven, unter anderem für die Frey-Kurve.

Dies ist ein Widerspruch zum ersten Teil des Beweises, die angenommene Existenz eines Gegenbeispiels zum fermatschen Satz muss falsch sein.

Trivia

• In der Folge „Hotel Royal“ der Fernsehserie Raumschiff Enterprise: Das nächste Jahrhundert von 1989 wird behauptet, der fermatsche Satz sei auch mit Computerhilfe bis ins 24. Jahrhundert nicht bewiesen worden. Kurze Zeit nach Einstellung der Serie im Jahr 1994 wurde dann der Beweis erbracht. Allerdings spielt Star Trek generell in einer anderen Zeitlinie.

Siehe auch

• Kleiner fermatscher Satz
• Reguläre Primzahl (dort liegt eine Beweisskizze für diesen Spezialfall vor)
• Wall-Sun-Sun-Primzahl
• Wieferich-Primzahl
• Wolstenholme-Primzahl

Literatur

Originalarbeiten

• Andrew Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat’s last theorem (PDF; 10,7 MB). Annals of Mathematics 142 (1995), S. 443–551.
• Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 142 (1995), S. 553–572.
• Kenneth A. Ribet: On modular representations of $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ arising from modular forms (PDF; 5,0 MB). Inventiones Mathematicae 100 (1990), S. 431–476.
• G. Frey: Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations. Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae 1 (1986), S. 1–40.

Übersichtsartikel und Historisches

• Solving Fermat. PBS-Fernsehinterview (Public Broadcasting Service) mit Andrew Wiles (engl.)
• Paulo Ribenboim: 13 lectures on Fermat’s last theorem, Springer, New York, 1979 (die wichtigsten Arbeiten vor Wiles)
• Paulo Ribenboim: Fermat's last theorem for Amateurs, Springer 2000, ISBN 0-387-98508-5
• Simon Singh: Fermats letzter Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. ISBN 3-423-33052-X
• Die Königliche Gesellschaft der Wissenschaften: Bekanntmachung betr. die Wolfskehlsche Preisstiftung. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Geschäftliche Mitteilungen 16:1 (1908), 103–104.
• Simon Singh und Kenneth Ribet: Die Lösung des Fermatschen Rätsels, Spektrum der Wissenschaft 1/98, Seite 96 ff. ISSN 0170-2971
• C. J. Mozzochi The Fermat Diary, American Mathematical Society 2000 (Geschichte der Lösung ab Frey)
• Kenneth A. Ribet: Galois Representations and Modular Forms, Bulletin of the AMS 32 (4/1995), 375–402
• Gerd Faltings: The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF; 150 kB), Notices of the AMS 42 (7/1995), 743–746.
• Peter Roquette, Zum Fermat-Problem (PDF; 207 kB). Vortrag am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, 24. Januar 1998.
• Joseph Silverman, Gary Connell, Glen Stevens (Hrsg.): Modular Forms and Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag 1997 (mathematisches Hintergrundmaterial zu und Darstellung von Wiles Beweis)
• Jürg Kramer Über die Fermat-Vermutung, Teil 1, Elemente der Mathematik, Band 50, 1995, S. 12–25 (PDF); Teil 2, Band 53, 1998, S. 45–60 (PDF)
• Klaus Barner, Der verlorene Brief des Gerhard Frey. Mitt. Dtsch. Math.-Ver. 2002, no. 2, 38–44.

Weblinks

 Commons: Großer Fermatscher Satz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien