Unterabtastung

Unter der Unterabtastung (englisch undersampling) wird in der Signalverarbeitung die Abtastung eines Signalverlaufes mit weniger als der doppelten Bandbreite verstanden. Unter bestimmten Voraussetzungen werden dabei nicht die Bedingungen des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems verletzt. Die Unterabtastung kann in diesem Fall dazu dienen, ein hochfrequentes Signal in einen Frequenzbereich mit geringerer Frequenz zu versetzen. Sind die Voraussetzungen des Abtasttheorems nicht erfüllt, so tritt zufolge der Unterabtastung Aliasing und damit einhergehend Informationsverlust auf. Die Unterabtastung stellt das Gegenstück zur Überabtastung (oversampling) dar.

Verfahren

Ein Signal in Bandpasslage weist allgemein eine Bandbreite $B$ von Signalanteilen auf, die symmetrisch um die Mittenfrequenz $f_{0}$ angeordnet sind. Um die Bedingungen des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems nicht zu verletzen, darf das Signal außerhalb der Bandbreite keine Frequenzanteile aufweisen. Dies kann unter anderem durch Bandpassfilter vor der Unterabtastung gewährleistet werden.

Mit der Abtastfrequenz $f_{A}$ verschieben alle Abtastfrequenzen

$f_{A}={\frac {f_{0}-f'_{0}}{r}},\qquad r\in \mathbb {Z}$

die Mittenfrequenz $f_{0}$ des Bandpasssignals auf die wählbare Bildfrequenz $f'_{0}$ im Basisband. Der Wert $r$ stellt den Faktor der Unterabtastung dar, mit größer werdendem $r$ werden die Abtastfrequenzen und somit nutzbaren Basisbandbreiten immer kleiner.

Die Bildfrequenz $f'_{0}$ im Basisband wird üblicherweise bei symmetrischem Bandspektrum auf den Wert $f'_{0}=0$ festgelegt. Bei unsymmetrischen Bandspektren wird $f'_{0}={\frac {f_{A}}{4}}$ gewählt.

Unterabtastung bei symmetrischem Bandspektrum

Bei symmetrischen Bandspektrum, wie zum Beispiel der Amplitudenmodulation, steht die Information im Signal doppelt und symmetrisch um $f_{0}$ zur Verfügung. Typisch wird in diesem Fall $f'_{0}=0$ gewählt, womit die Frequenzen im abgetasteten Signal durch

$f_{A}={\frac {f_{0}}{r}},\qquad r\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$

gegeben sind. Die redundante Bandhälfte wird dabei auf negative Frequenzen abgebildet, wodurch die Demodulation besonders einfach wird. Die minimale Abtastfrequenz muss größer als die Bandbreite $B$ sein, womit sich mit dieser Nebenbedingung dann der Faktor $r$ bestimmten lässt zu:

$r={\frac {f_{0}}{B}}$

Damit entspricht die Unterabtastung bei dem symmetrischen Bandspektrum der Demodulation einer Amplitudenmodulation.

Unterabtastung bei asymmetrischem Bandspektrum

→ Hauptartikel: Bandpassunterabtastung

Bei asymmetrischen Bandspektren, wie dies beispielsweise bei der Einseitenbandmodulation der Fall ist, ist die teilweise Abbildung auf negative Frequenzen nicht sinnvoll, da durch Überlagerungen unterschiedlicher Signalanteile Informationsverlust auftreten würde.

Im Fall der Einseitenbandmodulation kann das Signal unter Umständen (Phasenbedingung) dennoch direkt in Basisbandlage gebracht werden, indem $f'_{0}=\pm B/2$ gewählt wird; das Vorzeichen ergibt sich je nachdem, ob das untere oder das obere Seitenband zur Verfügung stehen. Der Träger, wäre er vorhanden, würde dann auf $f=0$ abgebildet.

Im Allgemeinen wird das Signal jedoch nur in eine niedrigere Zwischenfrequenzlage zur weiteren Verarbeitung verschoben (Funktion eines Mischers). Zur Erfüllung der Bedingungen des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems wird $f'_{0}=f_{A}/4$ gewählt, die Frequenzen im abgetasteten Signal sind dann:

$f_{A}={\frac {4f_{0}}{4r+1}},\qquad r\in \mathbb {Z}$

Die minimale Abtastfrequenz muss größer als die doppelte Bandbreite $B$ sein, womit sich mit dieser Nebenbedingung dann der Faktor $r$ bestimmten lässt zu:

$r={\frac {f_{0}}{2B}}-{\frac {1}{4}}$

Beispiel

Asymmetrisches Bandspektrum bei einem UKW-Empfänger

Es soll das gesamte für UKW-Rundfunk genutzte Frequenzband von 88 MHz bis 110 MHz, mit einer Bandbreite $B$ von 22 MHz, mittels Unterabtastung in den Zwischenfrequenzbereich von 0 MHz bis 22 MHz in Regellage verschoben werden, wie in der Abbildung rechts dargestellt.

Die Mittenfrequenz $f_{0}$ des Bandes beträgt 99 MHz, die Abtastfrequenz $f_{A}$ muss mindestens 44 MHz oder mehr betragen. Mit $r=2$ ergibt sich die somit die in diesem Fall einzige mögliche Abtastfrequenz zu:

$f_{A}={\frac {4f_{0}}{4r+1}}={\frac {4\cdot 99\mathrm {MHz} }{9}}=44\mathrm {MHz}$

Die eigentliche Demodulation eines bestimmten Radioprogrammes erfolgt erst durch die nachgeschaltete digitale Demodulatorstufe, die den Vorteil hat, die Demodulation in dem deutlich geringeren Frequenzband von 0 MHz bis 22 MHz und somit geringerer Taktrate ausführen zu können.

Nicht bandlimitierte Signale

Auswirkung der Samplingfrequenz im Verhältnis zur Signalfrequenz

Bei Unterabtastung nicht entsprechend bandlimitierter Signale sind die im Nyquist-Shannon-Abtasttheorem genannten Voraussetzungen zur verlustfreien Informationsgewinnung nicht erfüllt. Aliasing führt zum Auftreten von Spiegelfrequenzanteilen, die Teile des Nutzsignals überlagern.

Die graue Schwingung sei das analoge Signal, das diskretisiert (z. B. digitalisiert) werden soll. Die blauen Zahlen rechts geben den Wertebereich an. Ein Sample, das in diesen Bereich fällt, erhält diese digitale Zahl zugeordnet (Quantisierung). Die senkrechten Linien (S₁ bis S₂₅) geben die Zeitpunkte an, zu denen abgetastet wird. Die roten × verdeutlichen, in welchen Wertebereich das jeweilige Sample fällt. Die rechteckige blaue Signalform repräsentiert das aus den digitalen Daten gewonnene Signal. (Ehe es einem Rekonstruktionsfilter zugeführt wird.)

In der Abbildung ist zu erkennen, dass ab Sample 20 (S₂₀) die digitalisierten Werte die abgetastete Frequenz nicht mehr repräsentieren. Das Signal wird daher mit einer deutlich geringeren Frequenz und damit fehlerhaft rekonstruiert.

Literatur

• Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel: Signale und Systeme. 5. Auflage. Oldenbourg, 2011, ISBN 978-3-486-59748-6.