Vollständiger Hausdorff-Raum

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Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik solche topologische Räume, deren Punkte sich anhand ihrer Werte unter reellwertigen stetigen Funktionen unterscheiden lassen.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte x und y durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion f:X\rightarrow[0,1] existiert, so dass f(x)=0 und f(y)=1 gilt.

X ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte x und y immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass X vollständig T_2 sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen [0,1]-wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen[Bearbeiten]

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome T_0, T_1 und T_2.

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Die euklidische Topologie auf \mathbb{R}^{n} definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf \mathbb{R} die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form U\setminus A mit einer in der Betragstopologie offenen Menge U und einer abzählbaren Menge A erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Beziehung zur Stone-Čech-Kompaktifizierung[Bearbeiten]

Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes X in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn X vollständig hausdorffsch ist.[1]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Nicolas Bourbaki: Topologie Générale (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1, 9, S. 10.