Volumenarbeit

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Dieser Artikel behandelt geschlossene Systeme, also insbesondere eine konstante Stoffmenge (vorbehaltlich chemischer Reaktionen); für strömende Systeme siehe Hydraulik.
Kompressionsarbeit (V2 < V1)

Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit W, um ein Volumen V1 auf das Volumen V2 zu verändern:

  • bei der Volumenverkleinerung (V2 < V1) durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d.h. dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet):  W > 0
  • bei der Volumenvergrößerung (V2 > V1) durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d.h. vom System abgegeben:  W < 0.

Die Formel für die Volumenarbeit lautet:

 W_{1,2} =  - \int\limits_{s} F(s) \cdot \mathrm{d}s.

Hierbei ist F(s) die Kraft, die längs eines Weges s wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft Fp).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen \left( \mathrm{d}s < 0 \right), welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

Reibungsloser Vorgang[Bearbeiten]

Die reversibel, das heißt reibungsfrei und quasistatisch, zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt A \left( \Rightarrow \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}V}{A} \right)

wegen F = p \cdot A (Reibungsfreiheit):

 \Rightarrow W_\mathrm{1,2} =  - \int \limits_{V_1}^{V_2} p \cdot \mathrm{d}V

mit

  • p: Druck
  • dV: Volumenänderung.

Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung \left( \mathrm{d}V < 0 \right); daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang[Bearbeiten]

Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit W_R aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):

{p_2}' > p_2

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:

\Rightarrow W_{1, 2'} > W_{1, 2}

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

W_{ext} = W_{1, 2'} + W_R

Berechnungsbeispiel[Bearbeiten]

Angenommen sei die isotherme Verdichtung eines idealen Gases \left( T = konst. \right).

Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:

 p(V) = n \cdot R \cdot T \cdot \frac{1}{V}

mit

das Integral für die Volumenarbeit lösen:

\begin{align}
\Rightarrow W_\mathrm{1,2} & = -&n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_2}{V_1}\\
                           & =  &n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_1}{V_2}
\end{align}

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

\begin{align}
V_2 > V_1\\
\Leftrightarrow     \frac {V_2}{V_1} > 1\\
\Leftrightarrow \ln \frac {V_2}{V_1} > 0\\
\Rightarrow W_\mathrm{1,2} < 0
\end{align}

Statt n·R kann man oben auch m·Rs einsetzen:

n \cdot R = m \cdot R_\mathrm{s}

wobei

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]