Innere Energie

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Die innere Energie U ist die gesamte für thermodynamische Umwandlungsprozesse zur Verfügung stehende Energie eines physikalischen Systems, das sich in Ruhe und im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Die innere Energie setzt sich aus einer Vielzahl anderer Energieformen zusammen (s. u.), sie ist nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik in einem abgeschlossenen System konstant.[1]

Die innere Energie ändert sich, wenn das System mit seiner Umgebung Wärme oder Arbeit austauscht. Die Änderung \Delta U der inneren Energie ist dann gleich der Summe aus der dem System zugeführten Wärme Q und der Arbeit W, die am System geleistet wird, dieses aber als Ganzes im Ruhezustand belässt:

\Delta U = Q + W

Die innere Energie ist eine extensive Zustandsgröße und ein thermodynamisches Potential des Systems. Aus der kalorischen Zustandsgleichung des Systems ergibt sich, wie die innere Energie aus anderen Zustandsgrößen (z. B. Druck, Temperatur, Teilchenzahl, Entropie, Volumen, etc.) zu berechnen ist.

Definition und Beiträge[Bearbeiten]

Welche Energieformen bei der Betrachtung der inneren Energie berücksichtigt werden hängt von der Art der Prozesse ab, die innerhalb des betrachteten Systems ablaufen. Energieformen, die konstant bleiben, müssen nicht berücksichtigt werden, da ohnehin kein absoluter Wert für die innere Energie bestimmt werden kann.

Die Energie, die sich aus der Bewegung oder aus der Lage des Gesamtsystems ergibt (z. B. kinetische Energie, Lageenergie), wird nicht zur inneren Energie gezählt und könnte ihr daher als äußere Energie gegenübergestellt werden.[2]

Änderung in thermodynamischen Prozessen[Bearbeiten]

Eine Stoffsorte (K = 1)[Bearbeiten]

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) System:

\mathrm dU = \delta Q + \delta W = T \cdot \mathrm dS - p \cdot \mathrm dV

mit

Auf der rechten Seite schreibt man jeweils \delta statt \mathrm d, weil es sich nicht wie bei der Zustandsgröße U um totale Differentiale handelt, sondern um die partiellen Differentiale der Prozessgrößen Q und W. Der letzte Term hat ein negatives Vorzeichen, weil eine Vergrößerung des Volumens mit einer Abgabe von Arbeit verbunden ist.

Integriert:

\mathrm \Delta U = Q + W = \int{T \cdot \mathrm dS} - \int{p \cdot \mathrm dV}.

Auf jedem geschlossenen Weg  c gilt:

\oint \limits_c{\mathrm d}U = 0,

wie immer man die Differentiale \mathrm dS und \mathrm dV wählt.

Daher gilt für stationäre Kreisprozesse:

\begin{align}
\mathrm \Delta U                                                   & = 0\\
\Leftrightarrow Q_1 - \left| Q_2 \right| + W_1 - \left| W_2\right| & = 0,
\end{align}

wobei die mit 1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit 2 indizierten abgeführt (negativ) (vergl. Energiebilanz für Kreisprozesse).

Bei variabler Stoffmenge n bzw. Teilchenzahl N gehört auch das chemische Potential \mu zum totalen Differential hinzu (Fundamentalgleichung):

\mathrm dU = T \cdot \mathrm dS  - p \cdot \mathrm dV + \mu \cdot \mathrm dN.

Mehrere Stoffsorten (K > 1)[Bearbeiten]

Innere Energie U und ihre natürlichen Variablen (Entropie S, Volumen V und Stoffmenge N) sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems proportional zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V) mit dem Proportionalitätsfaktor \alpha:

U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V, \alpha \cdot (N_1, \dots, N_K)) = \alpha \cdot U(S,V,N_1, \dots, N_K)

mit N_i (i = 1, \dots, K) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ i.

Eine solche Funktion wird homogene Funktion ersten Grades genannt.

Mit dem Euler-Theorem und dem ersten Hauptsatz folgt die Euler-Gleichung für die innere Energie:[3]

U = TS - pV + {\sum_{i=1}^{K}}\, \mu_i N_i.

Gleichverteilungssatz für ideales Gas[Bearbeiten]

Für ein ideales Gas gilt der Gleichverteilungssatz (innere Energie verteilt auf jeden Freiheitsgrad mit je \tfrac{1}{2}\, k_\mathrm{B} T).

Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und N Teilchen ergibt sich:

U = \frac{3}{2}\ N k_\mathrm{B} T

oder für n Mol eines idealen Gases:

U = \frac{3}{2}\ n R T.

jeweils mit

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eintrag zu internal energy. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.I03103 .
  2. K. Stierstadt: Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik. Springer, Heidelberg 2010, S. 218, Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik in der Google-Buchsuche.
  3. Greiner, Theor. Physik Bd. 9, Gleichung 2.57.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Spezifische Innere Energie des Wassers – Lern- und Lehrmaterialien