Innere Energie

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Die innere Energie U – auch thermodynamische Energie genannt – ist die gesamte in einem ruhenden thermodynamischen System enthaltene Energie. Die Innere Energie setzt sich aus der thermischen Energie, der chemischen Energie, der Kernbindungsenergie sowie Wechselwirkungen zwischen Dipolen und äußeren Feldern zusammen. Ihre Änderung \Delta U ist gleich der Summe der Wärme Q, die einem System zugeführt wird, und der Arbeit W, die am System verrichtet wird.[1] Dies besagt der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

\Delta U = Q + W

(Obige Gleichung gilt nur, falls das System in einem Inertialsystem ruht. Andernfalls setzt sich die Gesamtenergie des Systems aus der inneren und den äußeren Energie zusammen).

Vorzeichen: Die Gleichung besagt, dass sich die innere Energie eines Systems erhöht (\Delta U > 0), wenn ihm Wärme oder Arbeit zugeführt wird (Q + W > 0), da die von außen aufgebrachte Energie im System gespeichert wird.

Die innere Energie ist eine extensive Zustandsgröße und ein thermodynamisches Potential. Wie jede thermodynamische Größe lässt sie sich mittels zweier beliebiger anderer Zustandsgrößen (z. B. Druck und Temperatur, Entropie und spezifisches Volumen, etc.) bestimmen.

Definition[Bearbeiten]

Die innere Energie umfasst die Gesamtheit aller kinetischen und potentiellen Einzelenergien der Teilchen des Systems. Gemeint sind dabei die kinetischen Energien der ungeordnete Bewegung der Teilchen, sowie die potentiellen Energien aufgrund von Wechselwirkungen der Teilchen untereinander. Die Energie, die sich aus der Bewegung und der Lage des Gesamtsystems ergibt, wird per Definition nicht zur inneren Energie gezählt und könnte ihr daher als äußere Energie gegenüber gestellt werden.[2]

Ein Vielteilchensystem besitzt eine abzählbare Folge von Energiewerten,  E_i . Die innere Energie ist der Erwartungswert der Summe dieser Energiewerte:

 U\equiv\langle E_i\rangle =\sum\limits_i\,p_i\cdot E_i,

wobei p_i die massenspezifischen Häufigkeiten sind.

Die innere Energie setzt sich aus folgenden Anteilen zusammen:

Änderung in thermodynamischen Prozessen[Bearbeiten]

Eine Stoffsorte (K = 1)[Bearbeiten]

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) System:

\mathrm dU = \delta Q + \delta W = T \cdot dS - p \cdot dV

mit

Auf der rechten Seite schreibt man jeweils \delta statt \mathrm d, weil es sich nicht wie bei der Zustandsgröße U um totale Differentiale handelt, sondern um die partiellen Differentiale der Prozessgrößen Q und W. Der letzte Term hat ein negatives Vorzeichen, weil eine Vergrößerung des Volumens mit einer Abgabe von Arbeit verbunden ist.

Integriert:

\mathrm \Delta U = Q + W = \int{T \cdot dS} - \int{p \cdot dV}.

Auf jedem geschlossenen Weg  c gilt:

\oint \limits_c{\rm d}U = 0,

wie immer man die Differentiale \mathrm dS und \mathrm dV wählt.

Daher gilt für stationäre Kreisprozesse:

\begin{align}
\mathrm \Delta U                                                   & = 0\\
\Leftrightarrow Q_1 - \left| Q_2 \right| + W_1 - \left| W_2\right| & = 0,
\end{align}

wobei die mit 1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit 2 indizierten abgeführt (negativ) (vergl. Energiebilanz für Kreisprozesse).

Bei variabler Stoffmenge n bzw. Teilchenzahl N gehört auch das chemische Potential \mu zum totalen Differential hinzu (Fundamentalgleichung):

\mathrm dU = T \cdot dS  - p \cdot \mathrm dV + \mu \cdot \mathrm dN.

Mehrere Stoffsorten (K > 1)[Bearbeiten]

Innere Energie U und ihre natürlichen Variablen (Entropie S, Volumen V und Stoffmenge N) sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems proportional zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V) mit dem Proportionalitätsfaktor \alpha:

U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V, \alpha \cdot (N_1, \dots, N_K)) = \alpha \cdot U(S,V,N_1, \dots, N_K)

mit N_i (i = 1, \dots, K) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ i.

Eine solche Funktion wird homogene Funktion ersten Grades genannt.

Mit dem Euler-Theorem und dem ersten Hauptsatz folgt die Euler-Gleichung für die innere Energie:[3]

U = TS - pV + {\sum_{i=1}^{K}}\, \mu_i N_i.

Gleichverteilungssatz für ideales Gas[Bearbeiten]

Für ein ideales Gas gilt der Gleichverteilungssatz (innere Energie verteilt auf jeden Freiheitsgrad mit je \tfrac{1}{2}\, k_\mathrm{B} T).

Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und N Teilchen ergibt sich:

U = \frac{3}{2}\ N k_\mathrm{B} T

oder für n Mol eines idealen Gases:

U = \frac{3}{2}\ n R T.

jeweils mit

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Eintrag: internal energy. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.I03103.
  2. K. Stierstadt: Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik, Springer, Heidelberg 2010, S. 218, bei Google-Books
  3. Greiner, Theor. Physik Bd. 9, Gleichung 2.57.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Spezifische Innere Energie des Wassers – Lern- und Lehrmaterialien