Innere Energie

Die innere Energie U – auch thermodynamische Energie genannt – ist eine physikalische Größe. Ihre Änderung ΔU ist gleich der Summe der Wärme ΔQ, die einem System zugeführt wird, und der Arbeit ΔW, die am System verrichtet wird:

$\Delta U = \Delta Q + \Delta W$

Vorzeichen: die Gleichung besagt, dass sich die innere Energie eines Systems erhöht ($\Delta U > 0$), wenn ihm Wärme zugeführt ($\Delta Q > 0$) oder an ihm Arbeit verrichtet wird ($\Delta W > 0$, z.B. Erhöhung des Drucks), da die von außen aufgebrachte Energie im System gespeichert wird.

Die innere Energie ist eine extensive Zustandsgröße und ein thermodynamisches Potential.

Definition

Je mehr über den Aufbau der Materie bekannt wurde, desto mehr wurden die Ursachen für die innere Energie erkannt. Physikalisch gesprochen hat man es mit einem Vielteilchensystem zu tun, das eine abzählbare Folge von Energiewerten, $E_i$, besitzt. Die innere Energie ist der thermische Mittelwert dieser Energiewerte:

$U\equiv\langle E_i\rangle =\sum\limits_i\,p_i\cdot E_i,$

wobei die $p_i$ Wahrscheinlichkeiten sind.

Zusammensetzung

Die Summe aus Lage-, Bewegungs- und Spannenergie ist bei reibungsfreien Vorgängen in einem abgeschlossenen System konstant.

• Der physikalisch-thermische Anteil (thermische Energie) beruht auf den gesamten ungeordneten, mikroskopischen Bewegungen der Moleküle – d. h. auf der kinetischen Energie plus Rotationsenergie plus Schwingungsenergie der Moleküle – sowie auf intermolekularen Wechselwirkungen.
• Der chemische Anteil ist die potentielle Energie der Bindungskräfte bzw. die Bindungsenergie, die in den Molekülen enthalten ist und zum Beispiel bei einer Verbrennung in Form von thermischer Energie bzw. Wärme frei wird.
• Der kernphysikalische Anteil bezeichnet die potentielle Energie, die in den Atomkernen vorhanden ist und die bei Kernzerfällen, Kernspaltungen und Kernfusionen freigesetzt werden kann.
• Zudem können noch die Wechselwirkungen von magnetischen und elektrischen Elementardipolen und induzierter Polarisation mit elektrischen und magnetischen äußeren Feldern einen Beitrag leisten.

Änderung in thermodynamischen Prozessen

Eine Stoffsorte (K = 1)

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) System:

$\mathrm dU = \delta Q + \delta W = T \cdot dS - p \cdot dV.$

mit

• der absoluten Temperatur T
• der Entropie S
• dem Druck p und
• dem Volumen V.

Auf der rechten Seite schreibt man jeweils $\delta$ statt $\mathrm d$, weil es sich nicht wie bei der Zustandsgröße U um totale Differentiale handelt, sondern um die partiellen Differentiale der Prozessgrößen Q und W.

Integriert:

$\mathrm \Delta U = Q + W = \int{T \cdot dS} - \int{p \cdot dV}.$

Auf jedem geschlossenen Weg $W$ gilt:

$\oint \limits_W{\rm d}U = 0,$

wie immer man die Differentiale $\mathrm dS$ und $\mathrm dV$ wählt.

Daher gilt für stationäre Kreisprozesse:

$\begin{align} \mathrm \Delta U & = 0\\ \Leftrightarrow Q_1 - \left| Q_2 \right| + W_1 - \left| W_2\right| & = 0, \end{align}$

wobei die mit 1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit 2 indizierten abgeführt (negativ) (vergl. Energiebilanz für Kreisprozesse).

Bei variabler Stoffmenge n bzw. Teilchenzahl N gehört auch das chemische Potential $\mu$ zum totalen Differential hinzu (Fundamentalgleichung):

$\mathrm dU = T \cdot dS - p \cdot \mathrm dV + \mu \cdot \mathrm dN.$

Mehrere Stoffsorten (K > 1)

Innere Energie $U$ und ihre natürlichen Variablen (Entropie $S$, Volumen $V$ und Stoffmenge $N$) sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems proportional zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V) mit dem Proportionalitätsfaktor $\alpha$:

$U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V, \alpha \cdot (N_1,..., N_K)) = \alpha \cdot U(S,V,N_1,..., N_K)$

mit $N_i$ (${i=1,..., K}$) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ $i$.

Eine solche Funktion wird homogene Funktion ersten Grades genannt.

Mit dem Euler-Theorem und dem ersten Hauptsatz folgt die Euler-Gleichung für die innere Energie:

$U = TS - pV + {\sum_{i=1}^{K}}\, \mu_i N_i.$

Gleichverteilungssatz für ideales Gas

In der Chemie für ein ideales Gas gilt der Gleichverteilungssatz (innere Energie verteilt auf jeden Freiheitsgrad mit je $\frac{1}{2}\ k_B T$).

Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und $N$ Teilchen ergibt sich:

$U = \frac{3}{2}\ N k_B T$

oder für $n$ Mol eines idealen Gases:

$U = \frac{3}{2}\ n R T.$

jeweils mit

• $k_B$ - Boltzmann-Konstante
• $R$ - ideale Gaskonstante.

Weblinks

 Wikibooks: Spezifische Innere Energie des Wassers – Lern- und Lehrmaterialien