Volumenform

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Beispiele in 3 Dimensionen[Bearbeiten]

Mathematische Definition[Bearbeiten]

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Differentialform vom Grad n. Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit Volumenformen[Bearbeiten]

Ist \omega eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit M und f eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

\int_M f\cdot\omega

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien x_1,\ldots,x_n lokale Koordinaten, so dass

\frac\partial{\partial x_1},\ldots,\frac\partial{\partial x_n}

positiv orientiert ist. Dann kann man f\cdot\omega im Kartengebiet als

g\cdot\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von g. Für das Integral über ganz M kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

Literatur[Bearbeiten]