Wendelfläche

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Ausschnitt einer Wendelfläche für 0\le r\le r_0,0\le\phi\le\phi_0

Die Wendelfläche oder Helikoide ist eine Fläche aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Sie ist neben der Ebene die einzige einfach zusammenhängende Minimalfläche im 3-dimensionalen euklidischen Raum.

Parametrisierung[Bearbeiten]

Ein Ausschnitt der Wendelfläche zum Parameter c=1. Der Ausschnitt zeigt den Teil für -1\le r\le 1 und -\pi\le\phi\le\pi.

Für eine fest gewählte Konstante c>0 parametrisiert man die Wendelfläche durch

x=r\cos(\phi)
y=r\sin(\phi)
z=c\phi,

wobei r und \phi alle reellen Werte annehmen, also von -\infty bis \infty laufen.

Minimalfläche[Bearbeiten]

Die Hauptkrümmungen der Wendelfläche in dem den Parametern r,\phi entsprechenden Punkt sind \frac{1}{1+r^2} und -\frac{1}{1+r^2}, die mittlere Krümmung ist also in jedem Punkt Null, die Wendelfläche ist eine Minimalfläche.

Topologisch ist sie homöomorph zur Ebene.

Lokal ist sie isometrisch zur Katenoide, sie ist aber nicht zu dieser homöomorph.

Sie ist eine Regelfläche und eine Schraubfläche.

Geschichte[Bearbeiten]

Die Helikoide wurde im 18. Jahrhundert von Euler und Meusnier beschrieben. Catalan bewies 1842, dass sie neben der Ebene die einzige minimale Regelfläche ist. Meeks und Rosenberg bewiesen 2005 (aufbauend auf Ungleichungen von Colding-Minicozzi), dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im \R^3 gibt: die Ebene und die Helikoide.[1][2]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727-758 doi:10.4007/annals.2005.161.727
  2. Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573-615 doi:10.4007/annals.2004.160.573

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Helicoids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Helicoid: Sammlung von Bildern und Animationen (Matthias Weber, Indiana University)