Weyl-Gruppe

In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

Es sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe und

$G=KAN$

ihre Iwasawa-Zerlegung. Es seien ${\mathcal {N}}_{G}(A)$ der Normalisator von $A$ in $G$ und ${\mathcal {Z}}_{G}(A)$ der Zentralisator von $A$ in $G$. Die Weyl-Gruppe ist definiert als

$W={\mathcal {N}}_{G}(A)/{\mathcal {Z}}_{G}(A)$.

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

→ Hauptartikel: Wurzelsystem

Es sei $R$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum $V$, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

$\left\{s_{\mathrm {A} }:\mathrm {A} \in R\right\}$

erzeugte Gruppe $W$ die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist, dann betrachtet man die Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ und das dazugehörige Wurzelsystem $R$. Die Weyl-Gruppe von $({\mathfrak {a}},R)$ stimmt mit der Weyl-Gruppe von $G$ überein.

Beispiel

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe $SL(n,\mathbb {R} )$ ist die symmetrische Gruppe $S_{n}$.

Literatur

• Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2

Weblinks

• Alexander Kirillov: An introduction to Lie groups and Lie algebras, PDF (Kapitel 8)
• Encyclopedia of Mathematics, A. S. Fedenko