Young-Laplace-Gleichung

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Die Young-Laplace-Gleichung (nach Thomas Young und Pierre-Simon Laplace, die sie unabhängig voneinander 1805 herleiteten) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung, dem Druck und der Oberflächenkrümmung einer Flüssigkeit.

Tropfen[Bearbeiten]

In einem kugelförmigen Tropfen, beispielsweise einem kleinen Wassertropfen oder einer Gasblase in einer Flüssigkeit, herrscht aufgrund der Oberflächenspannung \gamma an der Grenzfläche Flüssigkeit/Gas ein erhöhter Druck p:

 p = \frac{2 \cdot \gamma}{r}

mit dem Kugelradius r. Der Druck wird also umso größer, je kleiner der Kugelradius ist.

Verkleinert man den Radius so weit, dass er sich der Größenordnung von Moleküldurchmessern annähert, wird auch die Oberflächenspannung vom Radius abhängig:

 \gamma(r),

so dass die o. g. einfache Gleichung nicht mehr gilt.

Beliebig gekrümmte Fläche[Bearbeiten]

Wenn es sich nicht um eine Kugel handelt, sondern um eine beliebig gekrümmte Fläche, so lautet die Gleichung:

 p = \gamma \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)

r1 und r2 sind die Hauptkrümmungen des Krümmungskreises.

Seifenblase[Bearbeiten]

Für den Druck im Inneren einer Seifenblase ist der Druck jeweils doppelt so groß, weil die Seifenhaut zwei Oberflächen Gasphase/Flüssigkeit hat:

  • für kugelförmige Blasen:
p = \frac{4 \cdot \gamma}{r}
  • für nicht kugelsymmetrische Körper:
p = 2 \gamma \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)

Wenn sich mehrere Seifenblasen ineinander befinden, muss man jeweils die Summe der Drücke aller Seifenblasen addieren, die sich auf dem Weg zum betrachteten Punkt befinden.

Herleitung[Bearbeiten]

Für die Oberfläche A einer Kugel gilt

A = 4 \pi r^2,

für das Volumen

V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Bei einer kleinen Änderung des Radius um dr sind die Änderungen der Oberfläche

dA = 8 \pi r  dr,

und des Volumens

dV = 4 \pi r^2  dr.

Die Arbeit, die zur Veränderung der Oberfläche benötigt wird, ist damit

dW = \gamma dA = \gamma \cdot 8 \pi r  dr,

die zur Änderung des Volumens

dW = p dV = p \cdot 4 \pi r^2 dr.

Man erhält die oben angegebene Formel, wenn die beiden Arbeitsbeiträge gleichgesetzt werden.

Siehe auch[Bearbeiten]