Zinseszins

Zinseszins ist Zins, der auf kapitalisierte (dem Kapital zugeschriebene) Zinsen vergangener Berechnungsperioden berechnet wird. Erforderlich ist somit, dass dem Kapital bereits fällige Zinsen zugeschlagen (kapitalisiert) wurden, sodass die neue Berechnungsgrundlage von Kapital und kapitalisierten Zinsen ausgeht.

Mit der Berechnung des Zinseszinses in Abhängigkeit vom Zinssatz sowie der Höhe und Dauer einer Kapitalanlage beschäftigt sich die Zinseszinsrechnung, ein Teilgebiet der Finanzmathematik. Durch Zinseszinsen steigen Vermögen oder Schulden exponentiell.

Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsrechnung beantwortet die Frage, auf welches Endkapital $K_{n}$ ein anfängliches Kapital $K_{0}$ nach insgesamt $n$ Zeiträumen angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz von p % verzinseszinst wird.

Die Zinseszinsformel mit dem Zinsfuß p lautet:

$K_{n}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$

oder alternativ mit dem Zinsfaktor q:

$K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}$

mit $K_{n}$ = Endkapital; $K_{0}$ = Anfangskapital; $p$ = Zinsfuß bzw. $q$ = Zinsfaktor und $n$ = Anzahl der geltenden Zeiträume/Jahre.

Die Formel leitet sich aus folgendem Zusammenhang her: Ein Sparer tätigt eine einmalige Kapitalanlage auf einem Konto eines Kreditinstituts in Höhe eines anfänglichen Kapitals. Dieses Kapital wird während einer bestimmten Anlagedauer mit Zinseszins verzinst. Die Anlagedauer bestehe aus mehreren gleich langen Zeiträumen, die mit Hilfe der Natürlichen Zahlen (als Index $i$) fortlaufend durchgezählt werden. Damit kann man die Anlagedauer als Summe aller $n$ Zeiträume formulieren:

${{\text{Anlagedauer}}={\text{Zeitraum}}_{1}+{\text{Zeitraum}}_{2}+\dots +{\text{Zeitraum}}_{i}+\dots +{\text{Zeitraum}}_{(n-1)}+{\text{Zeitraum}}_{n}}$

Zu Beginn des ersten Zeitraums ($i=1$) liegt auf dem Konto des Sparers das anfängliche Kapital $K_{0}$:

${\text{Anfangskapital zu Beginn von Zeitraum}}_{1}\colon K_{0}$

Wichtig sind die beiden verwendeten Indexwerte. Der erste Zeitraum erhält den Indexwert $i=1$, während das Anfangskapital mit $i=0$ nummeriert wird. Die unterschiedliche Nummerierung kommt dadurch zustande, dass das ursprüngliche Anfangskapital $K_{0}$ während des ersten Zeitraumes sich nicht verändert. Die Zinsen werden erst nach Ablauf des ersten Zeitraumes also zu Beginn des zweiten Zeitraums gutgeschrieben.

Der Sparer hat sich entschieden, für die Anlagedauer nicht auf sein Kapital zuzugreifen. Dafür „belohnt“ ihn das Kreditinstitut bzw. letztlich der Kreditnehmer mit einer Gutschrift von Zinsen. Übliche Praxis ist nun, dass wiederholt jeweils am Ende von jedem der $n$ Zeiträume innerhalb der Anlagedauer Zinsen gutgeschrieben werden.

Es wird also z. B. für den ersten Zeitraum der Zinswert $Z_{1}$ vergütet:

${\text{Zinswert für den Zeitraum}}_{1}\colon Z_{1}$

Die konkrete Höhe des Zinswertes $Z_{1}$ im ersten Zeitraum bestimmt sich wie folgt: Das Kreditinstitut drückt die „Belohnung“ des Sparers für die Überlassung des Kapitals in prozentualer Form als Zinssatz aus, also z. B. „sechs Prozent“ $\left(6\%={\tfrac {6}{100}}\right)$. Die Zahl vor dem Prozentzeichen wird Zinsfuß $p$ genannt. Der am Ende des ersten Zeitraums gutgeschriebene Zinswert $Z_{1}$ verhält sich zum anfänglichen Kapitalwert $K_{0}$ genau so, wie sich der Zinsfuß $p$ zum Wert 100 verhält. Dieser Zusammenhang stellt eine Verhältnisgleichung (Proportion) dar.

${\frac {{\text{Zinswert für Zeitraum}}_{1}}{{\text{Kapitalwert zu Beginn von Zeitraum}}_{1}}}={\frac {{\text{Zinsfuß für Zeitraum}}_{1}}{100}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\frac {Z_{1}}{K_{0}}}={\frac {p}{100}}$.

Diese Verhältnisgleichung lässt sich umformen zu:

$Z_{1}=K_{0}\cdot {\frac {p}{100}}$.

Dieser Zusammenhang zwischen Zinswert und Kapitalwert im ersten Zeitraum lässt sich so verallgemeinern, dass er für jedes $Z_{i}$ und Kapitalwert $K_{(i-1)}$ in jedem $i$-ten Zeitraum gilt:

$Z_{i}=K_{i-1}\cdot {\frac {p}{100}}$.

Bis hierhin wurde die „Verzinsung für einen Zeitraum“ betrachtet.

Zur Betrachtung des Zinseszinses muss erneut berücksichtigt werden, dass der Sparer für das „zur Verfügung stellen“ des anfänglichen Kapitals $K_{0}$ nach Maßgabe der obigen Zinswert-Formel „belohnt“ wird. Seinem Konto wird am Ende des ersten Zeitraums also folgender Zinswert $Z_{1}$ gutgeschrieben:

$Z_{1}=K_{0}\cdot {\frac {p}{100}}$.

Somit wächst das anfängliche Kapital $K_{0}$ bis zum Ende des ersten Zeitraums genau um diesen Zinswert $Z_{1}$. Ihre Summe ergibt den neuen Kontostand. Diese Summe nennt man auch das (vorläufige) Endkapital $K_{1}$, das folgerichtig mit dem Indexwert $i=1$ versehen wird:

$K_{1}=K_{0}+Z_{1}=K_{0}+K_{0}\cdot {\frac {p}{100}}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)$.

Dieses (vorläufige) Endkapital $K_{1}$ ist nun zugleich das Anfangskapital für den zweiten Zeitraum ($i=2$). Es „erwirtschaftet“ darin den Zinswert $Z_{2}$, der erneut hinzuaddiert wird:

${K_{2}=K_{1}+Z_{2}=K_{1}+K_{1}\cdot {\frac {p}{100}}=K_{1}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)\left(1+{\frac {p}{100}}\right)=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{2}}$.

Für positive Zinsfüße $p>0$ gilt stets

$1+{\frac {p}{100}}>1$

Dieser Term wird daher Aufzinsfaktor genannt.

Damit wirkt bereits während des zweiten Zeitraums der Zinseszins-Effekt: Das Anfangskapital $K_{0}$ im ersten Zeitraum wächst mit dem Aufzinsungsfaktor $1+{\frac {p}{100}}$ auf das (vorläufige) Endkapital $K_{1}$. Auf die gleiche Weise steigt das Kapital $K_{1}$ im zweiten Zeitraum mit demselben Aufzinsungsfaktor auf das (vorläufige) Endkapital $K_{2}$. Über beide Zeiträume hinweg betrachtet ist das anfängliche Kapital $K_{0}$ jedoch überproportional, nämlich mit dem Quadrat des Aufzinsungsfaktors, auf das (vorläufige) Endkapital $K_{2}$ angewachsen.

Verallgemeinert bedeutet dies, dass sich am Ende der Anlagedauer, also nach insgesamt $n$ Zinszeiträumen, schließlich das Endkapital $K_{n}$ durch $n$-maliges Multiplizieren des Anfangskapitals $K_{0}$ mit dem Aufzinsungsfaktor

$K_{n}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$

ergibt.

Exponentielles Wachstum

Werden Zinsen kapitalisiert, hat dies eine zukünftige Mitverzinsung auch der kapitalisierten Zinsen zur Folge. Dadurch ergibt sich ein exponentieller Anstieg des Gesamtkapitals.

Die Zinseszinsformel

$K_{n}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$

lässt sich mit der Festsetzung

$\lambda =\ln \left(1+{\frac {p}{100}}\right)$

in die Formel für exponentielles Wachstum überführen:

$K_{n}=K_{0}\cdot e^{\lambda n}$

Die Zinseszinsformel ist demnach eine Sonderform der Formel des exponentiellen Wachstums

$N_{t}=N_{0}\cdot (1+p)^{t}$.

Ein Beispiel für die extremen Beträge, die durch die Annahme von über lange Zeit gleichbleibenden Wachstumsraten aufgrund von Zinseszinseffekten rechnerisch erhalten werden, ist der im Jahr Null angelegte Josephspfennig.

Aus den Zinseszins-Formeln kann man die 72er-Regel als Näherungsformel ableiten, wann sich ein Investment (Anlage eines Betrages zu einem Zinssatz) verdoppelt hat.

Beispiel

Das Anfangskapital beträgt 1000 €, die Verzinsung 5 %, betrachtet werden 50 Jahre.

Ohne Zinseszins

Die jährlich anfallenden 5 % Zinsen werden nicht dem Anfangskapital zugeschlagen und damit wieder angelegt, sondern entnommen und getrennt gesammelt. Nach 50 Jahren erhöht sich so die Summe aus Anfangskapital und getrennt gesammelten Einzeljahreszinsen auf 3500 €:

$K_{50}=1000{,}00\,\mathrm {\euro} +\left(1000{,}00\,\mathrm {\euro} \cdot {\frac {5}{100}}\right)\cdot 50=3500{,}00\,\mathrm {\euro}$.

Mit Zinseszins

Werden die jährlichen Zinsen immer dem jeweils neu anzulegenden Betrag zugeschlagen (kapitalisiert) wird aus den anfänglichen 1000 € bei ansonsten unveränderten Parametern in derselben Zeit eine Summe von 11.467 €:

$K_{50}=1000{,}00\,\mathrm {\euro} \cdot \left(1+{\frac {5}{100}}\right)^{50}=11467{,}40\,\mathrm {\euro}$.

Auswirkungen

Wird allerdings über den gleichen Zeitraum eine Inflation von beispielsweise 3 % mit eingerechnet, so reduziert sich der Zinseszinseffekt durch die Geldentwertung erheblich, da nach 50 Jahren das Geld nur noch einen Wert relativ zum Ursprungswert von 0,228 hat: dieser Wert ergibt sich aus

${\frac {1}{(100\%+3\%)^{50}}}={\frac {1}{1{,}03^{50}}}$.

Die 11.467 € haben dann nur noch eine Kaufkraft von 2.616 € bezogen auf den Zeitpunkt des Anfangskapitals. Berechnet man hingegen die Geldentwertung auf die Summe aus Anfangskapital und die getrennt gesammelten Einzeljahreszinsen ohne Zinseszins von zusammen 3500 €, so hat man nach 50 Jahren nur noch eine Kaufkraft von 798 € und somit deutlich weniger als das eingesetzte Kapital. Um den Wert eines Guthabens im Falle einer Inflation zu bewahren, ist folgendes zu beachten: da die Inflation eine exponentielle Geldentwertung hervorruft, muss eine Verzinsung ebenfalls exponentiell über den Zinseszins erfolgen, da ansonsten – ohne Mitverzinsung der Zinsen – auch bei einem Zinssatz, der deutlich über der Inflationsrate liegt, der reale Wert eines Guthabens auf lange Sicht verfällt.

Der bei Staatsverschuldung wirkende Zinseszinseffekt kann bei ausreichendem Wirtschaftswachstum kompensiert werden. Wenn ein Staat beispielsweise seine Schulden mit 5 % verzinsen muss und eine Inflationsrate von 3 % vorliegt, so müsste das reale Wirtschaftswachstum jährlich etwa 2 % betragen, damit die reale Schuldenquote nicht zunimmt, wenn die Zinsen durch Neuverschuldung bezahlt werden (bei gleichbleibenden Altschulden). In diesem Fall würden die Inflation und das reale Wirtschaftswachstum den Zinseszinseffekt dauerhaft kompensieren, da Inflation und Wirtschaftswachstum dem gleichen exponentiellen Wachstum wie der Zinseszinseffekt unterliegen. Die nominale Wachstumsrate der Staatseinnahmen entspricht dann dem Zinssatz der Staatsschulden. Reicht das Wirtschaftswachstum nicht aus um den Zinseszinseffekt vollständig zu kompensieren, so muss langfristig, entweder der Zinssatz sinken, die Inflation steigen oder jährlich der Teil der Zinslast aufgebracht werden, der nicht durch Inflation und Wirtschaftswachstum kompensiert wird. Bei einem realen Wirtschaftswachstum von 0 % müsste jährlich mindestens die Differenz von Zinssatz und Inflation – in diesem Beispiel also 2 % – aufgebracht werden, damit es auch auf Dauer nicht zu einer Überschuldung kommt.

Rechtsgrundlagen

Nach dem BGB ist bei Schuldverhältnissen eine im Voraus getroffene Vereinbarung über Zinseszinsen nichtig (§ 248 Abs. 1 BGB). Mit dem Verbot soll eine übermäßige, schwer durchschaubare Zinskumulation gerade auch im Verzugsfall (§ 289 Satz 1 BGB) verhindert werden. Deshalb dürfen Verzugszinsen von rückständigen Zinsen nicht berechnet werden. Eine nachträgliche Vereinbarung von Zinseszinsen ist jedoch zulässig.

Vom Zinseszinsverbot ausgenommen sind Guthabenzinsen auf Einlagen bei Kreditinstituten sowie Darlehenszinsen auf Hypotheken von Pfandbriefbanken (§ 248 Abs. 2 BGB). Weitere Ausnahme des generellen Verbots von Zinseszinsen ist das Kontokorrent, dessen besondere Rechtsfolge die Befreiung vom Zinseszinsverbot darstellt (§ 355 Abs. 1 HGB). Das Zinseszinsverbot wäre beim Kontokorrent ein massives Hindernis für die Erreichung seines Vereinfachungs- und Vereinheitlichungszwecks. Denn im Kontokorrentverhältnis werden (nur) die am Schluss der Abrechnungsperiode nicht beglichenen Zinsen in den neuen Saldo eingestellt und mitverzinst.

Der Gläubiger kann als Schadensersatz nach § 286 Abs. 1, § 289 Satz 2 BGB Zinsen von Verzugszinsen verlangen, wenn er den Schuldner wegen rückständiger Verzugszinsbeträge wirksam in Schuldnerverzug gesetzt hat. Der Bundesgerichtshof war hier der Auffassung, dass das Zinseszinsverbot in § 289 Satz 1 BGB (das auch mit der Beendigung eines Kontokorrentverhältnisses eingreift) nur die „gesetzlichen“ Verzugszinsen betreffe; ein Schadensersatzanspruch wegen verzögerter Zinszahlung sei aber, wie sich aus der Regelung des § 289 Satz 2 BGB ergebe, auch insoweit nicht grundsätzlich ausgeschlossen.

Siehe auch

• Rentenrechnung
• Sparkassenformel
• Zinsrechnung (in diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung)

Weblinks

• Erklärungen für Schüler

Einzelnachweise

Bitte den Hinweis zu Rechtsthemen beachten!