„Stoßmittelpunkt“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
Weiterleitung nach Physikalisches Pendel erstellt |
Neuanlage Markierung: Weiterleitung entfernt |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Der '''Stoßmittelpunkt''' und der '''Schwingungs­mittel­punkt''' sind in der [[Mechanik]] identische Punkte eines festen Körpers. Fasst man den [[Schaft (Werkzeug)|Stiel]] eines [[Hammer]]s oder [[Beil]]s im Stoß­mittel­punkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten.<ref name="autenrieth">{{Literatur |
|||
#redirect [[Physikalisches Pendel]] |
|||
| Autor=[[Edmund Friedrich Autenrieth| E. F. Autenrieth]], Max Ensslin |
|||
| Titel=Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure |
|||
| Auflage=3. Aufl. |
|||
| Verlag=Springer-Verlag |
|||
| Ort=Berlin |
|||
| Jahr=1922 |
|||
| ISBN=978-3-642-98876-9 |
|||
| Online=https://archive.org/details/technischemechan00aute/mode/2up |
|||
| Abruf=2022-05-07}}</ref>{{rp|525}} Reduziert man andererseits den aufgehängten Körper auf einen [[Massenpunkt]] im Schwingungs­mittel­punkt, dann hat dieses sogenannte [[Mathematisches Pendel|mathematische Pendel]] dieselbe [[Schwingungsdauer]] wie der ursprüngliche Körper.<ref name="autenrieth"/>{{rp|447}} |
|||
Die genannten Eigenschaften legen den Schwingungs- und Stoß­mittel­punkt eindeutig fest, und es stellt sich heraus, dass beide Punkte übereinstimmen. |
|||
== Stoßmittelpunkt == |
|||
[[Datei:Beam with pivot P, center of mass S and center of percussion C.svg|mini|100px|Abb. 1: Physikalisches Pendel (braun) mit Lager P, Schwerpunkt S und Schwingungs­mittel­punkt C]] |
|||
Betrachtet wird ein fester Körper, der in einem Punkt P frei drehbar aufgehängt ist. Der Einfachheit halber soll der Körper eine Symmetrieebene besitzen, in der der [[Massenmittelpunkt]] S, das Lager P und die Wirkungslinie der Stoßkraft F liegen. Dann führt der Körper eine ebene Bewegung aus, wo sich alle Körperpunkte in Parallelebenen aufhalten, siehe Abbildung 1. |
|||
Auf den nach unten hängenden Körper soll im Punkt C in der Symmetrieebene, exzentrisch eine Kraft F horizontal so wirken, dass bei der einsetzenden Drehbewegung der Lagerpunkt P in Ruhe bleibt, keine horizontale [[Lagerreaktion]] auftritt und sich die einsetzende Bewegung als reine Drehung um P darstellt. P ist dann der anfängliche [[Momentanpol]]. |
|||
Gemäß dem [[Drallsatz]] in der Ebene „[[Drehmoment]] um einen Punkt ist gleich [[Massenträgheitsmoment]] um diesen Punkt mal [[Winkelbeschleunigung]]“ wird der Körper in Drehung versetzt, wenn die Kraft nicht im Massen­mittel­punkt angreift. Der Kraftangriffspunkt soll nun so gewählt werden, dass die Drehung um S dieselbe Winkelbeschleunigung <math>\ddot\phi</math> (zweifache [[Zeitableitung]] von ''ϕ'') erfährt wie die Drehung um P. Die Winkelbeschleunigung ist proportional zum Drehmoment „Kraft mal Hebelarm“ um den Drehpunkt und umgekehrt proportional zum Massenträgheitsmoment um diesen Punkt. Für die Punkte P und S ergibt sich: |
|||
:<math>\mathsf{\ddot\phi=\frac{(r+e)F}{\theta_P}\stackrel!=\frac{eF}{\theta_S}}</math> |
|||
Mit dem [[Steinerscher Satz|Steiner’schen Satz]] <math>\mathsf{\theta_P=mr^2+\theta_S}</math> folgt |
|||
:<math>\mathsf{|PC|=r+e=r+\frac{\theta_S}{mr}}</math> oder <math>\mathsf{|SC|=e=\frac{\theta_S}{mr}}</math> |
|||
Anwendungen: |
|||
* Wird eine [[Billardkugel]] auf einer glatten Ebene in ihrem Stoß­mittel­punkt angestoßen, dann rollt sie auf der Ebene schlupflos ab, siehe [[Eulersche Kreiselgleichungen#Anstoß einer Billardkugel]]. |
|||
* Fasst man den [[Schaft (Werkzeug)|Stiel]] eines [[Hammer]]s oder [[Beil]]s im Stoß­mittel­punkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. Gewöhnlich ist der Stiel so lang, dass sich der Stoß­mittel­punkt an seinem Ende befindet.<ref name="autenrieth"/>{{rp|525}} |
|||
* Wenn ein Körper mit Symmetrieebene, wie das Pendel eines [[Schlagwerk (Uhr)|Schlagwerkes]], der [[Glockenklöppel]] oder das [[Ballistisches Pendel|ballistische Pendel]], in seinem Stoß­mittel­punkt aufgehängt wird, dann erfährt die Drehachse keinen Stoßdruck.<ref name="autenrieth"/>{{rp|525}} |
|||
* Insbesondere wenn eine aufklappende Tür durch einen [[Türstopper]] bei 2/3 ihrer Breite aufgehalten wird, werden die [[Türangel]]n nur minimal belastet, siehe das [[#Beispiel]] mit B≈0. Die hier vernachlässsigte [[Elastizität (Physik)|Elastizität]] der Tür führt zu [[Biegeschwinger|Biegeschwinungen]] und [[Lagerreaktion]]en, die nur bei schwungvollem Aufschlag beachtenswert sind. |
|||
== Schwingungsmittelpunkt == |
|||
[[Datei:Compound pendulum with pivot P, center of gravity S and center of oscillation C.svg|mini|100px|Abb. 2: Physikalisches Pendel (braun) mit Schwerpunkt S und Stoß­mittel­punkt C]] |
|||
Betrachtet wird derselbe Körper, der im Punkt P unverschieblich aber drehbar aufgehängt wird. Die [[Gewichtskraft]] ''mg'' greift in seinem [[Gravizentrum|Schwerpunkt]] S an. Wenn dieser, wie in Abbildung 2, nicht [[lotrecht]] unter oder über P liegt, übt die Gewichtskraft ein [[Drehmoment]] aus, das den Körper zum Pendeln anregt. Bei kleinen Schwingungen hat dieses sogenannte [[Physikalisches Pendel|physikalische Pendel]] die [[Kreisfrequenz]] |
|||
:<math>\mathsf{\omega_p^2=\frac{rmg}{\theta_P}}</math> |
|||
mit: |
|||
:{| |
|||
|r:|| Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt (│PS│) |
|||
|- |
|||
| m:|| Masse des Körpers |
|||
|- |
|||
| g:|| [[Schwerebeschleunigung]] und |
|||
|- |
|||
|style="vertical-align: top;"| ''θ''<sub>P</sub>:|| [[Massenträgheitsmoment]] des Körpers um P und eine Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene. |
|||
|} |
|||
Beim [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendel]] mit Massenpunkt in C ist die Kreisfrequenz nur vom Abstand |PC|=r+e der Masse vom Lager und nicht von der Masse selbst abhängig: |
|||
:<math>\mathsf{\omega_m^2=\frac{g}{r+e}}</math> |
|||
Hier ist |SC|=e der Abstand des Massenpunkts vom Schwerpunkt. Der Schwingungs­mittel­punkt C liegt dort, wo beide Kreisfrequenzen übereinstimmen: |
|||
:<math>\mathsf{\omega_p^2=\frac{rmg}{\theta_P}=\omega_m^2=\frac{g}{r+e} |
|||
\quad\rightarrow\quad |
|||
|PC|=r+e=\frac{\theta_P}{mr}}</math> |
|||
Nach dem [[Steinerscher Satz|Steiner’schen Satz]] sind die Trägheitsmomente um P und S durch <math>\mathsf{\theta_P=mr^2+\theta_S}</math> verknüpft, sodass sich wie beim Stoß­mittel­punkt |
|||
:<math>\mathsf{|PC|=r+e=\frac{mr^2+\theta_S}{mr}=r+\frac{\theta_S}{mr}}</math> oder <math>\mathsf{|SC|=e=\frac{\theta_S}{mr}}</math> |
|||
ergibt. |
|||
== Mathematisches Pendel == |
|||
{{Siehe auch|Mathematisches Pendel}} |
|||
Das mathematische Pendel besteht aus einem [[Massenpunkt]], der im [[Schwerefeld]] an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Beim Massenpunkt stimmen Schwerpunkt und Massen­mittel­punkt überein und relativ zu ihnen hat der Punkt keine Massenträgheit (''θ''<sub>S</sub>=0). Beim mathematischen Pendel stimmen deshalb Schwerpunkt, Massen­mittel­punkt, Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt überein. |
|||
== Geschichte == |
|||
[[Jakob I Bernoulli]] bestimmte 1703 als erster das Oszillationszentrum eines Pendels, was er bereits auch in einem ersten, etwas unrichtigen Versuch 1686 tat. Dies ist auch gleichzeitig das erste Auftreten des [[Drallsatz]]es, der zu seiner Zeit noch nicht bekannt war.<ref>{{Literatur |
|||
| Autor=[[Clifford Truesdell]] |
|||
| Hrsg=[[Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik]] |
|||
| Titel=Die Entwicklung des Drallsatzes |
|||
| Sammelwerk=[[Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik]] |
|||
| Reihe=Heft 4/5 |
|||
| Band=44 |
|||
| Datum=1964-04 |
|||
| Seiten=149 – 158 |
|||
| Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/zamm.19640440402/abstract |
|||
| DOI=10.1002/zamm.19640440402}}</ref> |
|||
== Beispiel == |
|||
Betrachtet wird der in [[#Stoßmittelpunkt|Abbildung 1]] und [[#Schwingungsmittelpunkt|Abbildung 2]] dargestellte, an einem Ende aufgehängte [[Balken]]. Er besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit Breite B und Höhe H senkrecht zur Bildebene, die Länge R=2r und die Masse m. Ein solcher Balken hat das [[Massenträgheitsmoment]] ''θ''<sub>S</sub>=m(R<sup>2</sup>+B<sup>2</sup>)/12 um den Massen­mittel­punkt, siehe [[Liste von Trägheitstensoren#Stab, Parallelogramm und Quader]]. Der Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt befindet sich damit im Abstand |
|||
:<math>\mathsf{|PC|=r+e=r+\frac{\theta_S}{mr} |
|||
=r+\frac{m(R^2+B^2)}{12mr} |
|||
=r+\frac{4r^2+B^2}{12r} |
|||
=\frac43r+\frac{B^2}{12r}}</math> |
|||
von einem Ende des Balkens. Mit B=r/2=R/4 wie in den Bildern ist |
|||
:<math>\mathsf{|PC|=r+e=\frac43r+\frac{B^2}{12r}=\frac{65}{48}r=1{,}3541\bar6\,r}</math> oder <math>\mathsf{|SC|=e=0{,}3541\bar6\,r}</math> |
|||
Beim dünnen Balken mit vernachlässigbarer Dicke B ist |
|||
:<math>\mathsf{|PC|=r+e=\frac43r=\frac23R}</math> bzw. <math>\mathsf{|SC|=e=\frac r3=\frac R6}</math> |
|||
== Literatur == |
|||
<references/> |
Version vom 7. Mai 2022, 13:13 Uhr
Der Stoßmittelpunkt und der Schwingungsmittelpunkt sind in der Mechanik identische Punkte eines festen Körpers. Fasst man den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoßmittelpunkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten.[1]:525 Reduziert man andererseits den aufgehängten Körper auf einen Massenpunkt im Schwingungsmittelpunkt, dann hat dieses sogenannte mathematische Pendel dieselbe Schwingungsdauer wie der ursprüngliche Körper.[1]:447
Die genannten Eigenschaften legen den Schwingungs- und Stoßmittelpunkt eindeutig fest, und es stellt sich heraus, dass beide Punkte übereinstimmen.
Stoßmittelpunkt
Betrachtet wird ein fester Körper, der in einem Punkt P frei drehbar aufgehängt ist. Der Einfachheit halber soll der Körper eine Symmetrieebene besitzen, in der der Massenmittelpunkt S, das Lager P und die Wirkungslinie der Stoßkraft F liegen. Dann führt der Körper eine ebene Bewegung aus, wo sich alle Körperpunkte in Parallelebenen aufhalten, siehe Abbildung 1.
Auf den nach unten hängenden Körper soll im Punkt C in der Symmetrieebene, exzentrisch eine Kraft F horizontal so wirken, dass bei der einsetzenden Drehbewegung der Lagerpunkt P in Ruhe bleibt, keine horizontale Lagerreaktion auftritt und sich die einsetzende Bewegung als reine Drehung um P darstellt. P ist dann der anfängliche Momentanpol.
Gemäß dem Drallsatz in der Ebene „Drehmoment um einen Punkt ist gleich Massenträgheitsmoment um diesen Punkt mal Winkelbeschleunigung“ wird der Körper in Drehung versetzt, wenn die Kraft nicht im Massenmittelpunkt angreift. Der Kraftangriffspunkt soll nun so gewählt werden, dass die Drehung um S dieselbe Winkelbeschleunigung (zweifache Zeitableitung von ϕ) erfährt wie die Drehung um P. Die Winkelbeschleunigung ist proportional zum Drehmoment „Kraft mal Hebelarm“ um den Drehpunkt und umgekehrt proportional zum Massenträgheitsmoment um diesen Punkt. Für die Punkte P und S ergibt sich:
Mit dem Steiner’schen Satz folgt
- oder
Anwendungen:
- Wird eine Billardkugel auf einer glatten Ebene in ihrem Stoßmittelpunkt angestoßen, dann rollt sie auf der Ebene schlupflos ab, siehe Eulersche Kreiselgleichungen#Anstoß einer Billardkugel.
- Fasst man den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoßmittelpunkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. Gewöhnlich ist der Stiel so lang, dass sich der Stoßmittelpunkt an seinem Ende befindet.[1]:525
- Wenn ein Körper mit Symmetrieebene, wie das Pendel eines Schlagwerkes, der Glockenklöppel oder das ballistische Pendel, in seinem Stoßmittelpunkt aufgehängt wird, dann erfährt die Drehachse keinen Stoßdruck.[1]:525
- Insbesondere wenn eine aufklappende Tür durch einen Türstopper bei 2/3 ihrer Breite aufgehalten wird, werden die Türangeln nur minimal belastet, siehe das #Beispiel mit B≈0. Die hier vernachlässsigte Elastizität der Tür führt zu Biegeschwinungen und Lagerreaktionen, die nur bei schwungvollem Aufschlag beachtenswert sind.
Schwingungsmittelpunkt
Betrachtet wird derselbe Körper, der im Punkt P unverschieblich aber drehbar aufgehängt wird. Die Gewichtskraft mg greift in seinem Schwerpunkt S an. Wenn dieser, wie in Abbildung 2, nicht lotrecht unter oder über P liegt, übt die Gewichtskraft ein Drehmoment aus, das den Körper zum Pendeln anregt. Bei kleinen Schwingungen hat dieses sogenannte physikalische Pendel die Kreisfrequenz
mit:
r: Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt (│PS│) m: Masse des Körpers g: Schwerebeschleunigung und θP: Massenträgheitsmoment des Körpers um P und eine Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.
Beim mathematischen Pendel mit Massenpunkt in C ist die Kreisfrequenz nur vom Abstand |PC|=r+e der Masse vom Lager und nicht von der Masse selbst abhängig:
Hier ist |SC|=e der Abstand des Massenpunkts vom Schwerpunkt. Der Schwingungsmittelpunkt C liegt dort, wo beide Kreisfrequenzen übereinstimmen:
Nach dem Steiner’schen Satz sind die Trägheitsmomente um P und S durch verknüpft, sodass sich wie beim Stoßmittelpunkt
- oder
ergibt.
Mathematisches Pendel
Das mathematische Pendel besteht aus einem Massenpunkt, der im Schwerefeld an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Beim Massenpunkt stimmen Schwerpunkt und Massenmittelpunkt überein und relativ zu ihnen hat der Punkt keine Massenträgheit (θS=0). Beim mathematischen Pendel stimmen deshalb Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Stoß- und Schwingungsmittelpunkt überein.
Geschichte
Jakob I Bernoulli bestimmte 1703 als erster das Oszillationszentrum eines Pendels, was er bereits auch in einem ersten, etwas unrichtigen Versuch 1686 tat. Dies ist auch gleichzeitig das erste Auftreten des Drallsatzes, der zu seiner Zeit noch nicht bekannt war.[2]
Beispiel
Betrachtet wird der in Abbildung 1 und Abbildung 2 dargestellte, an einem Ende aufgehängte Balken. Er besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit Breite B und Höhe H senkrecht zur Bildebene, die Länge R=2r und die Masse m. Ein solcher Balken hat das Massenträgheitsmoment θS=m(R2+B2)/12 um den Massenmittelpunkt, siehe Liste von Trägheitstensoren#Stab, Parallelogramm und Quader. Der Stoß- und Schwingungsmittelpunkt befindet sich damit im Abstand
von einem Ende des Balkens. Mit B=r/2=R/4 wie in den Bildern ist
- oder
Beim dünnen Balken mit vernachlässigbarer Dicke B ist
- bzw.
Literatur
- ↑ a b c d E. F. Autenrieth, Max Ensslin: Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 (archive.org [abgerufen am 7. Mai 2022]).
- ↑ Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149 – 158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).