Überdeckungssatz von Besicovitch

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In der Analysis ist die Besicovitch-Überdeckung, benannt nach Abram Samoilowitsch Besikowitsch, eine offene Überdeckung einer Teilmenge auf dem euklidischen Raum mit Kugeln, sodass jeder Punkt von das Zentrum einer Kugel in der Überdeckung ist.

Sei A , und ein System von abgeschlossenen Kugeln in , sodass es zu jedem eine Kugel mit Zentrum in und Radius kleiner gleich gibt.

Dann existieren Systeme von Kugeln, derart dass jedes System aus höchstens abzählbar vielen paarweise disjunkte Kugeln aus besteht und deren Vereinigung ganz überdeckt, das heißt:

.

Anwendung für die Maximalfunktion und maximale Ungleichung

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Sei ein nicht-negatives Borelmaß für , endlich für kompakte Teilmengen und sei eine -integrierbare Funktion, dann definiert man die Maximalfunktion für jedes (mit der Konvention ) durch

.

Diese Maximalfunktion ist halbstetig, also messbar. Für jedes ist dann folgende maximale Ungleichung erfüllt:

  • Besicovitch, A. S.: A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 41, Seiten 103–110, 1945
  • Besicovitch, A. S.: A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 42, Seiten 205–235, 1946
  • Füredi, Z und Loeb, P.A.: On the best constant for the Besicovitch covering theorem. Proceedings of the American Mathematical Society, 121, Seiten 1063–1073, 1994
  • Di Benedetto, E: Real analysis. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4231-5