Dynkin-System

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Λ-System)
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge heißt Dynkin-System über , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:[1]

  • Das System enthält die Grundmenge:
.
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
.
disjunkt

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ein Mengensystem, dann wird durch

ein Dynkin-System definiert, genannt das von erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches enthält. heißt Erzeuger von .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als -System auch als -Operator notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind oder .

Das Dynkin-System-Argument

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei eine Aussage, die für Mengen entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger , für dessen Elemente man zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von einerseits , andererseits gilt aber auch und damit wegen schon .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel[2] für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

auf der Grundmenge . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von erzeugte σ-Algebra und das von erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, wenn eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge enthält und in der für beliebige Mengen mit auch gilt.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, ISBN 3-11-013626-0, S. 7, Def. 2.1.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.