Dynkin-System

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Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Teilmenge der Potenzmenge einer nichtleeren Grundmenge heißt Dynkin-System über , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Das System enthält die Grundmenge:
.
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
.
disjunkt .

Alternativ lässt sich auch folgende Charakterisierung angeben: Ist eine monotone Klasse, welche die Obermenge enthält, und in der für beliebige Mengen mit gilt, dass auch ist, so ist ein Dynkin-System.

δ-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ein Mengensystem, dann wird durch

ein Dynkin-System definiert, genannt das von erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches enthält. heißt Erzeuger von .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als -System auch als -Operator notiert.

Zusammenhang mit σ-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme
  • Ein Dynkin-System ist genau dann eine σ-Algebra, wenn es ein π-System ist.
  • Für jede durchschnittsstabile Teilmenge von gilt nach dem Dynkinschen π-λ-Satz, dass das erzeugte Dynkin-System mit der erzeugten σ-Algebra übereinstimmt: (siehe σ-Operator).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System.
  • Sei , dann ist ein Dynkin-System, aber keine σ-Algebra, da nicht durchschnittsstabil ist.

Das Dynkin-System-Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei eine Aussage, die für Mengen entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger , für dessen Elemente man zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von einerseits , andererseits gilt aber auch und damit wegen schon .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]