Dynkin-System

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Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz)

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Teilmenge der Potenzmenge einer nichtleeren Grundmenge heißt Dynkin-System über , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Das System enthält die Grundmenge:
.
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
.
disjunkt .

δ-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ein Mengensystem, dann wird durch

ein Dynkin-System definiert, genannt das von erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches enthält. heißt Erzeuger von .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als -System auch als -Operator notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind oder .

Das Dynkin-System-Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei eine Aussage, die für Mengen entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger , für dessen Elemente man zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von einerseits , andererseits gilt aber auch und damit wegen schon .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel[1] für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

auf der Grundmenge . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht Schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der Dynkinsche π-λ-Satz: Ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von erzeugte σ-Algebra und das von erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, wenn eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge enthält, und in der für beliebige Mengen mit gilt, dass auch ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.