Additives Funktional

In der Stochastik ist ein additives Funktional (AF) ein stochastischer Prozess, der sich von einem anderen stochastischen Prozess (üblicherweise ein Markow-Prozess bzw. Feller-Prozess) ableitet und eine bestimmte additive Eigenschaft erfüllt. Wenn der Prozess stetig ist, dann wird das stetige additive Funktional oft mit CAF abgekürzt.

Additives Funktional

Sei $X$ ein kanonischer Feller-Prozess mit Zustandsraum $S$ und assoziierter Endzeit $\zeta$. Weiter sei ${\mathcal {F}}$ eine Filtration und $\theta _{t}$ ein Shift-Operator, d. h. $\theta _{t}(Y_{s})=Y_{t+s}$ für einen beliebigen Prozess $Y=(Y_{t})_{t\geq 0}$.

Ein additives Funktional von $X$ ist ein nicht-absteigender und ${\mathcal {F}}$-adaptierter Prozess $F=(F_{t})_{t\geq 0}$, so dass $F_{0}=0$ und $F_{\zeta \vee t}:=F_{\zeta }$ sowie die additive Eigenschaft

$F_{s+t}=F_{s}+F_{t}\circ \theta _{s},\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0$

erfüllt ist.

Erläuterungen

Die letzte Bedingung sollte man als

$F_{s+t}(X_{u},u\geq 0)=F_{s}(X_{u},u\geq 0)+F_{t}(X_{s+u},u\geq 0),\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0$

interpretieren.

Man kann $F$ und $X$ auch allgemeiner definieren, so dass nur die additive Eigenschaft erfüllt ist.

Beispiele

• Sei $f$ eine einfache, messbare Funktion auf $S$, dann wird der Prozess

$F_{t}:=\int _{0}^{t}f(X_{s})\mathrm {d} s,\quad t\geq 0,$

elementares additives Funktional genannt.

• Sei $f$ wie oben und $F_{t}$ ein stetiges additives Funktional, dann ist das stochastische Integral

$G_{t}:=(f\cdot F)_{t}=\int _{s\leq t}f(X_{s})\mathrm {d} F_{s},\quad t\geq 0,$

ein weiteres additives Funktional

• Die Lokalzeit eines Prozesses ist ein weiteres Beispiel.

Potential eines additiven Funktionals

Für ein stetiges additives Funktional $F$ und eine Konstante $\alpha$ definieren wir das $\alpha$-Potential als

$U_{F}^{\alpha }(x)=E_{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}\mathrm {d} F_{t}\right],\quad x\in S$

sowie für eine Funktion $f$

$U_{F}^{\alpha }f:=U_{f\cdot F}^{\alpha }.$

Literatur

• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 661–685, doi:10.1007/978-3-030-61871-1. 
• Evgeny B. Dynkin: Transformations of Markov Processes Connected with Additive Functionals. In: Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. 1961, S. 117–142 (projecteuclid.org).