Vermutung von Andrica

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Die ersten 100 Werte für .

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei die -te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen gilt:

Unter Verwendung der -ten Primzahllücke lässt sie sich auch so formulieren:

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten 500 Werte für .

Es sei .

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes , sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle mit wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt[1], der größte gefundene Wert war .

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:


Folge A084976 in OEIS

Folge A084974 in OEIS

Folge A084977 in OEIS
4 7 0,670873
30 113 0,639281
217 1327 0,463722
263 1669 0,292684
367 2477 0,260522
429 2971 0,256245
462 3271 0,244265
590 4297 0,228429
650 4831 0,215476
738 5591 0,213675
...
10655462 191912783 0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005[2]) wurden die Primzahlen bis getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

  • Maximum trivialerweise bei , d. h.
  • Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei , d. h.
[3]
Dieses wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.[4]

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

Außerdem wird vermutet, dass

Ähnliche Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem und mindestens eine Primzahl existiert.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-817-64645-5, S. PT26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, S. 13.
  3. Folge A038458 in OEIS
  4. Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.