Assoziiertes Primideal

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In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Primideal eines Ringes assoziiert zu einem Modul über , wenn es der Annihilator eines Elementes aus ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Sei ein Ring, sei ein Primideal und sei ein -Modul. Dann heißt assoziiert zu , wenn ein existiert, sodass gilt:

.

Es gibt also ein in , sodass für alle in gilt:

Die Menge der assoziierten Primideale wird mit bezeichnet.

Es gelten folgende Sätze für einen Modul über einem Ring :

  • Ist ein Untermodul von , so ist
  • Ist nicht der Nullmodul und noethersch, so ist nicht leer.
  • Ist noethersch, so ist
die Menge aller Nullteiler von .
  • Ist endlich erzeugt und noethersch, so gibt es eine Kette von Untermoduln (eine Kompositionsreihe)
und eine Menge von Primidealen
sodass isomorph zu ist. Insbesondere ist in diesem Fall eine endliche Menge.
  • Allgemein: Ist noethersch und gibt es eine Kompositionsreihe
sodass isomorph zu ist (mit Primidealen ), so gilt:
Diese drei Mengen besitzen dieselbe minimalen Elemente.
  • Daraus folgt insbesondere, dass ein noetherscher Ring nur endlich viele minimale Primideale enthält.

Zusammenhang mit dem Träger

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Wenn ein noetherscher Ring und ein Modul ungleich dem Nullmodul ist, dann ist der Träger von die Menge aller Primideale, die Obermenge eines zu assoziierten Primideals sind.

  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut 1989, ISBN 978-3411140411.
  • Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
  • Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
  • Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra