Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

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In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

Vorbereitende Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

mit und .

Die Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls und , gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

.

Für beliebige und ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für in einer Umgebung der konvergierend. Sie lautet dann

mit

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. Baker: Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
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  • L. Corwin & F.P Greenleaf: Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
  • E. B. Dynkin: Calculation of the coefficients in the Campbell-Hausdorff formula, Doklady Akad Nauk USSR, 57 (1947) 323–326.
  • Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9.
  • F. Hausdorff: Berl Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
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  • W. Rossmann: Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford University Press, 2002.
  • A.A. Sagle & R.E. Walde: Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
  • J.-P. Serre: Lie algebras and Lie groups, Benjamin, 1965.
  • H. Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch lesbar hier).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]