Banach-Mazur-Abstand

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Der Banach-Mazur-Abstand, benannt nach Stefan Banach und Stanisław Mazur, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachräume. Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Räumen und wird besonders für endlichdimensionale Räume verwendet.

Motivation und Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine bijektive, stetige, lineare Abbildung , deren Umkehrung ebenfalls beschränkt ist. Für die Operatornorm gilt . Daher ist

eine Zahl , die misst, wie weit die Räume und davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen und . Sind und nicht isomorph, so ist .

Es gelten folgende einfache Regeln:

  1. ; allgemeiner , falls und isometrisch isomorph sind,
  2. für normierte Räume und ,
  3. für normierte Räume und .

Daraus ergibt sich, dass sich wie eine Metrik verhält, wobei log irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus. Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Banach-Mazur-Abstand hängt vom zu Grunde liegenden Grundkörper, oder , ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.

Aus folgt im Allgemeinen nicht, dass und isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pełczyński und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für folgende Normen auf c0 definiert:

Setzt man , so kann man zeigen, dass strikt konvex ist, aber nicht; daher können und nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man

,

so ist ein Isomorphismus und es ist , also gilt .

Dieses Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein, denn für zwei endlichdimensionale Räume und kann man zeigen, dass genau dann gilt, wenn und isometrisch isomorph sind.

Minkowski-Kompaktum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomorphie ist eine mit bezeichnete Äquivalenzrelation auf . Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge induziert und dass ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum. Auch wenn keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von , so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.

Es bezeichne den mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht für alle : Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis von . Für gilt dann und daher und , woraus folgt.

Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung für alle . Daraus folgt sofort

für alle .

Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums . E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel

falls oder .

Für den Fall kennt man folgende Abschätzung:

.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]