Folgenraum

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Ein Folgenraum ist ein in der Mathematik betrachteter Vektorraum, dessen Elemente Zahlenfolgen sind. Viele in der Funktionalanalysis auftretende Vektorräume sind Folgenräume oder können durch solche repräsentiert werden. Zu den Beispielen zählen u.a. die wichtigen Räume wie aller beschränkten Folgen oder aller gegen 0 konvergenten Folgen. Die Folgenräume bieten vielfältige Möglichkeiten zur Konstruktion von Beispielen und können daher auch als eine Spielwiese für Funktionalanalytiker betrachtet werden.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird der Vektorraum aller Folgen in (= oder ) bezeichnet. Folgen können komponentenweise addiert und mit reellen bzw. komplexen Zahlen multipliziert werden. Sind etwa und solche Folgen und ist , so ist

.

Es ist klar, dass mit diesen Operationen ein -Vektorraum ist. Folgenräume sind Unterräume dieses Vektorraums, die, um eine Mindestreichhaltigkeit zu sichern, alle Folgen , die an der n-ten Stelle 1 und sonst überall 0 sind, enthalten.

Der kleinste Folgenraum ist damit der von den Folgen erzeugte Unterraum. Dieser wird mit bezeichnet und besteht aus allen Folgen, die nur an endlichen vielen Stellen von 0 verschieden sind. Man nennt ihn daher auch den Raum der endlichen Folgen, wobei man sich jede endliche Folge durch Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt denkt. Also sind Folgenräume Unterräume von , die enthalten.

Der Umstand, dass die Elemente eines Folgenraums Folgen sind, die man als Elemente eines Vektorraums auch einfach Punkte oder Vektoren nennt, kann zu Missverständnissen führen. Insbesondere wenn man Folgen in solchen Räumen betrachtet, hat man es mit Folgen von Folgen zu tun.

Im Folgenden werden Normen bzw. Systeme von Normen oder Halbnormen auf Folgenräumen definiert. Dadurch erhält man normierte Räume bzw. lokalkonvexe Räume.

c0 und c[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die wohl bekanntesten Folgenräume sind der Raum aller gegen 0 konvergenten Folgen und der Raum aller konvergenten Folgen. Betrachtet man auf diesen Räumen die Supremumsnorm, d. h. , so erhält man Banachräume. Der Raum ist ein Unterraum von der Kodimension 1. Bezeichnet die konstante Folge, die an jeder Stelle gleich 1 ist, so gilt . Mit der komponentenweise erklärten Multiplikation sind und Banachalgebren, sogar C*-Algebren. Weiter kann man zeigen, dass in dicht liegt. Beide Räume sind damit separabel, denn die Menge aller endlichen Folgen mit Werten aus bzw. ist abzählbar und dicht.

ℓ p [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm. Für sei

.

Ist , so erhält man durch die Definition eine Metrik, die zu einem vollständigen topologischen Vektorraum macht, der kein normierter Raum ist. Für wird durch

die p-Norm definiert (dazu benötigt man die Minkowski-Ungleichung), die zu einem Banachraum macht. Der Unterraum liegt dicht und es folgt die Separabilität von für . Der Raum ist nicht separabel. Ist nämlich , so sei die Folge, die an jeder Komponente aus gleich 1 und sonst 0 ist. Dann haben die überabzählbar vielen Folgen paarweise den -Abstand 1 voneinander, weshalb nicht separabel sein kann.

Die -Räume sind ein Spezialfall der allgemeineren Lp-Räume, wenn man das Zählmaß auf dem Raum betrachtet.

Unter den -Räumen befindet sich der Hilbertraum ; nach dem Satz von Fischer-Riesz ist das bis auf isometrische Isomorphie der einzige unendlich-dimensionale separable Hilbertraum. Alle -Räume sind mit der komponentenweisen Multiplikation Banachalgebren, ist eine H*-Algebra, eine C*-Algebra, sogar eine von-Neumann-Algebra.

Dualität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man sagt, der normierte Folgenraum hat den normierten Folgenraum als Dualraum, wenn folgendes gilt:

  1. Für alle und ist .
  2. Jedes definiert durch ein stetiges lineares Funktional auf .
  3. Die Abbildung ist surjektiv und isometrisch.

Da Isometrie Injektivität impliziert, ist insbesondere ein isometrischer Isomorphismus.

In diesem Sinne liegen folgende Dualitäten vor:

  • Ist und , so ist .

Lokalkonvexe Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rein algebraisch hat man die Isomorphien und . Damit kann man auf die Summentopologie, das heißt die Finaltopologie aller Inklusionen , definieren, was diesen Raum zu einem (LF)-Raum macht. wird durch die Produkttopologie, d.h. durch die Topologie der komponentenweisen Konvergenz, zu einem lokalkonvexen Raum.

Die oben definierte Dualität für normierte Folgenräume lässt sich auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern, wenn man Punkt 3 durch die folgende Forderung ersetzt:

  • Die Abbildung ist ein Homöomorphismus.

Dann gilt und .

Köthe-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende auf Gottfried Köthe zurückgehende Konstruktion von lokalkonvexen Folgenräumen bietet ein reichhaltiges Arsenal an Beispielen.

Unter einer Köthe-Matrix versteht man eine unendliche Matrix mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle Matrixelemente und zu jedem gibt es ein mit .
  • für alle Indizes .

Mit diesen Daten werden nun die folgenden Räume definiert, wobei sei:

.

Diese Räume heißen die durch die Köthe-Matrix definierten Köthe-Räume (oder auch Köthesche Stufenräume), die Normen heißen die zugehörigen kanonischen Normen. Jeder dieser Räume wird mit dem System der kanonischen Normen ein lokalkonvexer Raum, sogar ein Fréchet-Raum.

Wählt man als Köthe-Matrix die Matrix , die an jeder Komponente gleich 1 ist, so erhält man die oben definierten normierten Räume zurück: , . Indem man Köthe-Matrizen wählt, deren Matrix-Elemente ein bestimmtes Wachstumsverhalten zeigen, kann man Beispiele für ganz andere Raumklassen konstruieren.

So gilt z.B.:

Für eine Köthe-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Für jedes ist ein Montel-Raum.
  • ist eine Montel-Raum.
  • Zu jeder unendlichen Teilmenge und jedem gibt es ein , so dass .

Für eine Köthe-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Für jedes ist ein Schwartz-Raum.
  • Zu jedem gibt es ein , so dass .

Für eine Köthe-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Für jedes ist ein nuklearer Raum.
  • ist eine nuklearer Raum.
  • Zu jedem gibt es ein , so dass .

Als Anwendung dieser Aussagen kann man durch Wahl einer geeigneten Köthe-Matrix Beispiele für Montel-Räume konstruieren, die keine Schwartz-Räume sind. Derartige Beispiele sind sehr wichtig, um etwas Ordnung in den Zoo der lokalkonvexen Räume zu bringen.

Für die Matrix nennt man den Raum der schnell fallenden Folgen. Dieser Raum spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der nuklearen Räume, denn nach dem Satz von Kōmura-Kōmura ist dieser Raum ein Generator aller nuklearen Räume.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Springer, Berlin u. a. 1968, (Lecture Notes in Mathematics 56).
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9, (Mathematische Leitfaden).
  • Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8, (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 62), Inhalt.