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Sind die Löcher in der ebenen Platte an den Stellen
angebracht und hängen an den Fäden die Massen
, so muss der Gleichgewichtspunkt
die Gleichgewichtsbedingung (Summe aller Kräfte im Punkt
ist Null) erfüllen. Der Betrag der im i-ten Faden angreifenden Kraft ist
(
ist die Erdbeschleunigung) und hat die Richtung
(Einheitsvektor). Summiert man diese Kräfte auf und kürzt den gemeinsamen Faktor
heraus erhält man die Gleichung
- (1):
![{\displaystyle \ \mathbf {F} (\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c359a8b55ca7c9d89ff558fda3d8bb5985c7cba)
erfüllen. In Komponenten bedeutet diese Vektorgleichung
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {x-x_{i}}{|\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de00e1d61693ddbc550c34c559c2a3d93bc76eb4)
.
Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die Unbekannten
und kann mit dem Weiszfeldverfahren [1]
gelöst werden.
Die linke Seite der Gleichung (1) lässt sich auch als Gradient der Funktion
- (2):
![{\displaystyle \ D(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1cf849deaef60db877b5a4b92a6b0b8fa39c7b)
auffassen. Die Funktion
wiederum beschreibt die Summe der mit
gewichteten Abstände
der Punkte
von dem Punkt
. Da der Gradient der Funktion
im Punkt
gleich Null ist, besitzt
in
ein relatives Optimum. Das heißt, der Varignon'sche Apparat liefert eine einfache Möglichkeit das Standort-Problem (Optimierung) experimentell zu lösen und das Weiszfeld-Verfahren liefert eine rechnerische Lösung.
Bezeichnungen:
Für die Jacobi-Matrix des Newton-Verfahrens berechnet man die zweiten partiellen Ableitungen der Funktionen
. Die Koeffizienten der für die Newton-Iteration benötigten Jacobi-Matrix
sind dann:
![{\displaystyle J_{xx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixx},\quad J_{xy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixy},\quad J_{xx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0799e870e004ae4549a655c07104919dfdbe78)
Iteration: Man wählt einen Startpunkt
und löst für jeden Schritt das lineare Gleichungssystem (z. B. mit der Cramerschen Regel)
.
Danach erhält man
Der folgende auf Jakob Steiner zurückgehende einfache Algorithmus basiert auf der Idee, in Gleichung (1) im Zähler die Näherung
und im Nenner die Näherung
einzusetzen und diese Gleichung dann nach
aufzulösen[2]:
![{\displaystyle \mathbf {v} _{k+1}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} _{k}|}}{\big /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} _{k}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29806a8681ce5fe7cd7ac463c7b0cd5acea61c28)
Als Startpunkt wird der Massenmittelpunkt der Anordnung mit den Massen in den Punkten
verwendet:
.
Der Weiszfeld-Algorithmus benutzt diese Iterationformel.
Die Iterationsformel kann als Iteration zur Bestimmung des Fixpunktes der Funktion
- (3)
![{\displaystyle \quad G(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}{\big /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2935193fea1fb58134e333541ee9fdf25038c49)
mit der Fixpunktgleichung
- (4)
![{\displaystyle \quad \mathbf {x} =G(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f77da9bc6d6928d6411bee624c3ff45c90e6361)
angesehen werden (Siehe hierzu auch Fixpunktsatz von Banach.)
- ↑ Horst W. Hamacher: Mathematische Lösungsverfahren für planare Standortprobleme, Vieweg+Teubner-Verlag, 2019, ISBN 978-3-663-01968-8, S. 31
- ↑ Karl-Werner Hansmann :Industrielles Management, De Gruyter Verlag, 2014, ISBN 9783486840827, 3486840827, S. 115