Gradient (Mathematik)

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Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.
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Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektorfeld liefert, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient kann als eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet werden. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.[1]

In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt , der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion  die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von an der Stelle ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem sogenannten Nabla-Operator (um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann, bisweilen auch oder ).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf sei das Skalarprodukt gegeben. Der Gradient der total differenzierbaren Funktion im Punkt ist der durch die Forderung

eindeutig bestimmte Vektor Der Operator ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist der Spaltenvektor

Die Einträge sind die partiellen Ableitungen von in -Richtung. Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch (gesprochen „Nabla “) statt . In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung

wobei , und die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.

Rechenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Skalarfeld durch Somit sind die partiellen Ableitungen und und es folgt oder in Vektordarstellung

Für den Punkt lautet beispielsweise der Gradientvektor . Der Betrag ist .

Zylinder- und Kugelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Darstellung in dreidimensionalen Zylinderkoordinaten:
  • Darstellung in dreidimensionalen Kugelkoordinaten:

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

wobei die den Betrag und die Richtung des Vektors angeben.

Allgemein krummlinige Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

worin der Gradient der Koordinate ist.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand und dem Volumen dann kann der Gradient des Skalarfelds im Punkt mittels der Volumenableitung durch

berechnet werden. Dabei bezeichnet das äußere vektorielle Flächenelement von wobei der nach außen zeigende Normalenvektor und das skalare Flächenelement ist.[2]

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet auf den Punkt zusammengezogen, sodass sein Inhalt gegen null geht. Ersetzt man durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet wählt.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine glatte Funktion auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist der Gradient von dasjenige Vektorfeld , mit dem für jedes Vektorfeld die Gleichung

gilt, wobei das durch definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an ist und (oft auch bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt die Richtungsableitung von in Richtung , ausgewertet in , zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte von einer offenen Teilmenge von auf eine offene Teilmenge von ist gegeben durch:

wobei die -te Komponente von in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

Analog zum Fall hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

Genauer: ist das der 1-Form unter dem mittels der Metrik definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Der Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des Skalarfeldes in einem Punkt . Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Konstanten und Skalarfelder gilt:

Linearität

Produktregel

Zusammenhang zur Richtungsableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes in Richtung eines normierten Vektors genauer:

Ist in einer Umgebung von differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von mit dem Gradienten von berechnen:

Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder in Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle und :

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ (präziser: der Funktion ). Die bzw. sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege im das Linienintegral verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung

für ein differenzierbares Vektorfeld ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion mit (vgl. Totales Differential#Integrabilitätsbedingung). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von (z. B. sternförmig) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe Poincaré-Lemma).

Nützliche Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor verwendet.

Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf und nicht auf wirkt. Er wird deshalb auch als geschrieben.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konservative Kräfte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines Potentials darstellen. Beispiele dafür sind:

a) die Gravitationskraft
die für eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Mass M
lautet,
b) oder in der Elektrodynamik statische elektrische Felder

In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt, dass für Probemassen bzw. Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit entlang eines beliebigen Weges durch das Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig ist.

Transportphänomene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlreiche Transportphänomene lassen sich darauf zurückführen, dass sich die dazugehörigen Ströme als Gradient eines Skalarfeldes ausdrücken lassen, wobei der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor als Transportkoeffizient oder Leitfähigkeit bezeichnet wird.

Ein Beispiel dafür ist der Wärmestrom in der Thermodynamik, für den

gilt, wobei die Wärmeleitfähigkeit ist.

In der Fluiddynamik versteht man unter einer Potentialströmung eine Strömung, bei die Geschwindigkeiten Gradient eines Potentials sind. Da die Divergenz eines Gradienten verschwindet, folgt dann aus der Kontinuitätsgleichung ein Erhaltungssatz.

Bildverarbeitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Problem in der Bildverarbeitung ist es, in einem Bild zusammenhängende Flächen zu erkennen. Da ein Bild diskrete Werte enthält, benutzt man Filter wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Ein Filter ist dabei eine Matrix, mit der das Bild gefaltet wird (siehe Diskrete Faltung). Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.

Weitere Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorgradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wird jedoch ein sogenannter Vektorgradient auch für Vektorfelder eingeführt, die ein Vektorfeld aus dem euklidischen Vektorraum mit Frobenius-Skalarprodukt „·“ in den Vektorraum abbilden, siehe Dyadisches Produkt, weswegen bei der Gradientenbildung aus Vektoren per definitionem Tensoren zweiter Stufe entstehen:

Das hochgestellte „┬“ steht für die Transposition und der Raum enthält alle Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus dem in den linear abbilden. Der Vektorgradient ist demnach das transponierte dyadische Produkt „“ des Nabla-Operators und eines Vektorfelds.

Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors berechnet werden:

In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

Seien die komponentenweisen Darstellungen

bezüglich einer festen Orthonormalbasis des und des gegeben. Dann berechnet sich der Gradient gemäß

Die Komponenten dieses Tensors stimmen mit denen der Jacobi-Matrix überein:

Der Vektorgradient wird u. a. in der Kontinuumsmechanik (z. B. in den Navier-Stokes-Gleichungen) benutzt.

In der Literatur wird gelegentlich auch definiert.

Totales Differential[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte für ein Vektorfeld eine infinitesimale Verschiebung:

Das vollständige oder totale Differential eines Vektorfeldes ist:

  bzw. in Indexschreibweise  

Das totale Differential eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differential eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differential skalar multipliziert. Beim totalen Differential eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differentialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rechenregeln sind diejenigen der Jacobi-Matrix. bezeichnet hier den Vektorgradienten.

Für alle Konstanten und Vektorfelder gilt:

Linearität

Produktregel

Speziell für Vektorfelder lassen sich obige Beziehung noch umformen:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit der -Funktion aus arctan2.

wobei die Einheitsmatrix ist.

Die beiden letzten Formeln werden z. B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ernst Grimsehl: Lehrbuch der Physik. Band 1: Mechanik, Wärmelehre, Akustik. 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.
  2. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren