Gleichgewicht (Systemtheorie)

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Gleichgewicht ist der statische oder stationäre Zustand eines Systems der Systemtheorie. Entsprechend den Gründen, warum sich Zustandsgrößen nicht oder nur langsam ändern, gibt es verschiedene Arten von Gleichgewichten.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Gleichgewichtszustand, auch kritischer Punkt, Fixpunkt, Gleichgewichtslage oder Ruhelage genannt, ist ein Zustand im Phasenraum, den das System nicht verlässt, sofern keine Störungen auf das System einwirken. Der Zustand eines Systems zum Zeitpunkt , lässt sich zum Beispiel durch ein Tupel beschreiben. Damit der Zustand ein Gleichgewichtszustand ist, muss dieser für alle Zeiten gleich sein, man sagt auch „invariant gegenüber einer Dynamik “. Die Lage der Gleichgewichtszustände ist unabhängig davon, in welchem Zustand das System ist durch folgende Gleichgewichtsbedingungen gegeben.

Kontinuierliches System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein kontinuierliches System, dessen Zeitentwicklung gegeben ist durch die Differentialgleichung

ist ein Gleichgewichtszustand gegeben durch die Gleichgewichtsbedingung[1]

da dann entsprechend die zeitliche Ableitung ist.

Diskretes System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein diskretes dynamisches System, welches nur diskrete Zeitschritte erlaubt, lässt sich durch eine iterierte Abbildung

beschreiben. Die Gleichgewichtsbedingung für den Gleichgewichtszustand ist

Je nach Anzahl an Lösungen der Gleichungen für die jeweilige Gleichgewichtsbedingung, kann ein System beliebig viele Gleichgewichtspunkte besitzen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mechanisches Gleichgewicht bei einem ebenen Pendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein ebenes Pendel als Fahrgeschäft auf einer Kirmes
Gleichgewichtspositionen des ebenen Pendels.
Phasenraum des ebenen Pendels mit Konstanten = 1. Das Potential und der Phasenraum sind bezüglich des Winkels θ periodisch mit Periode 2π.

Ein ebenen Pendels ist ein mechanisches System, bei dem eine Masse mit einer Pendelstange fester Länge drehbar in einem Punkt befestigt ist. Der Zustand eines solchen Pendels zu einem festen Zeitpunkt lässt sich durch einen Winkel und der Winkelgeschwindigkeit beschreiben. Die Bewegungsgleichung ist dann die autonome Differentialgleichung

wobei die Konstante die Fallbeschleunigung ist.

Das System hat damit zwei Gleichgewichtspunkte und , welche die Gleichgewichtsbedingung erfüllen. Der Gleichgewichtspunkt bei einem Winkel von Null ist das stabile Gleichgewicht, wenn das Pendel keine Auslenkung und Geschwindigkeit besitzt. Der zweite Punkt ist das instabile Gleichgewicht, wenn das Pendel keine Geschwindigkeit besitzt und „auf dem Kopf“ steht. Im Phasenraum ist ein elliptischer Fixpunkt, der Punkt ein hyperbolischer Fixpunkt.

In einem statischen System, also ein System bei dem das Pendel keine Geschwindigkeit besitzt, lässt sich die Bedingung für ein mechanisches Gleichgewicht mithilfe von Kräften und Momenten formulieren. So ist das Pendel im Gleichgewicht, wenn die Summe aller angreifenden Kräfte und Momente Null ist. In beiden Gleichgewichtspunkten und wird die Gewichtskraft der Masse am Pendel durch die Kraft, mit der die Pendelstange die Masse am Drehpunkt festhält, vollständig ausgeglichen. Die resultierende Kraft und das resultierende Moment sind Null.

Ökologisches Gleichgewicht bei einer Räuber-Beute Beziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Phasenraum des Lotka-Volterra-Systems mit Konstanten = 1

Ein einfaches Modell der Wechselwirkung zwischen Räuber- und Beutepopulationen sind die Lotka-Volterra-Gleichungen. Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung einer Anzahl an Bäutetieren und Räubern . Mit den jeweiligen Reproduktions und Sterberaten bzw. und bzw. ergibt sich das Differentialgleichungssystem für einen Zustand :

Das System besitzt einen stabilen Gleichgewichtspunkt und einen instabilen Gleichgewichtspunkt . Im Zustand gibt es eine konstante Anzahl an Räubern und Bäutetieren, die in einem ökologischen Gleichgewicht sind. Im Zustand sind beide Populationen ausgerottet.

Verhalten von Gleichgewichten bei Störungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichgewichtszustände eines Systems sind unabhängig davon, in welchem Zustand sich das System befindet. Die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems lässt sich qualitativ durch charakterisieren der Gleichgewichtszustände abschätzen. Ein Gleichgewichtszustand lässt sich grob einteilen in

stabil
Das System kehrt nach einer Störung wieder in seinen Ausgangszustand zurück.
labil
Das System geht bei der kleinsten Störung in einen anderen Zustand über.
indifferent
Das System kommt nach jeder Störung in einem neuen Zustand zur Ruhe.
metastabil
Das System geht nach einer ausreichend großen Störung in einen stabileren Gleichgewichtszustand über. Bei zwei Gleichgewichtszuständen spricht man auch von bistabil.

Zur mathematisch exakten Einteilung gibt es daher in der Stabilitätstheorie mehrere Stabilitätsbegriffe.

Dynamische Gleichgewichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt Prozesse innerhalb des Systems oder Flüsse über die Systemgrenzen hinweg, die sich in ihrem Einfluss auf die Zustandsgrößen des Systems gegenseitig aufheben. Für die Klassifizierung von Systemen nach der Durchlässigkeit ihrer Grenzen siehe thermodynamisches System.

Dynamisches Gleichgewicht in einem geschlossenen System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall nicht-offener Systeme sind es nur innere Prozesse, die Einfluss auf die Zustandsgrößen des Systems haben. Die oben formulierte Gleichgewichtsbedingung ist in Systemen chemischer Reaktionen genau dann erfüllt, wenn die chemischen Potentiale ausgeglichen sind. Beispiel: Ein thermisch isolierter Drucktopf mit heißem Wasser und Wasserdampf. Die beiden beteiligten Reaktionen heißen Verdampfung und Kondensation. Verdampfung senkt die Temperatur und steigert den Druck, was weitere Verdampfung verlangsamt bzw. die Kondensation beschleunigt. Nach einiger Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein, in dem beide Reaktionen gleich schnell verlaufen und die Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Dampfmenge konstant bleiben.

Für Systeme in dynamischem Gleichgewicht gilt der Virialsatz im jeweiligen Teilgebiet der Physik. Die explizite Kenntnis von Bahnen ist dafür nicht erforderlich.

Quasistatische Zustandsänderungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen gibt es mehr als zwei Reaktionen, die gleichzeitig ablaufen. Das Gleichgewicht kann dann zwischen allen beteiligten Elementen des Systems bestehen oder sich auf ein Teilsystem beschränken. Sind die Prozesse des Teilsystems schnell gegenüber Austauschprozessen mit der Umgebung, so treten quasistatische Zustandsänderungen auf. Beispiel: Der langsam abkühlende Drucktopf. Die Abgabe von Wärme an die Umgebung senkt die Temperatur, den Druck und die Dampfmenge, aber nicht unabhängig voneinander, sondern der Systemzustand bleibt stets nahe an der Dampfdruckkurve.

Ob es in einem speziellen Fall eine Trennung in schnelle und langsame Prozesse gibt und wie die Änderungen der Zustandsgrößen zeitlich verlaufen, ist Gegenstand der Kinetik.

Fließgleichgewichte in offenen Systemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Existieren mehrere Kopplungsprozesse mit der Umgebung, so kann der Zustand des Systems konstant bleiben, indem sich diese mehr oder weniger zufällig in ihrer Wirkung aufheben. Fließgleichgewichte sind stets mit einer Produktion von Entropie verbunden, die für einen stationären Zustand abgeführt werden muss.

Enge Kopplung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dominiert ein Kopplungsprozess die anderen Prozesse, so ist der Zustand des Teilsystems in der betroffenen Zustandsgröße festgelegt. Beispiele: Der Topf ist offen, der Druck ist auf den atmosphärischen Druck festgelegt, selbst große Heizleistung erhöht die Temperatur nicht über den Siedepunkt, solange noch Wasser im Topf ist. In der Elektrotechnik ist bei Anschluss eines Kleinverbrauchers an eine Spannungsquelle die Spannung festgelegt (geklemmt). Ein ökonomisches Beispiel ist die Buchpreisbindung (für Werke ohne Alternative, etwa spezielle Fachbücher).

Fließgleichgewicht im rückwirkungsfreien System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne enge Kopplung werden Systeme meist mit deutlichen Änderungen ihres Zustandes auf Änderungen in der Umgebung reagieren. Die Bezeichnung Fließgleichgewicht legt folgendes Beispiel nahe: Der Füllstand einer Badewanne ohne Stöpsel wird sich bei gegebenem Zufluss so einpegeln, dass der vom Pegel abhängige Abfluss dem Zufluss gleich ist. Fließgleichgewichte gibt es aber auch mit vielen anderen physikalischen und nicht-physikalischen Größen, etwa Energie oder Reichtum.

Homöostatisches Gleichgewicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Homöostase

Die Flüsse über die Systemgrenze können auch dadurch ausgeglichen werden, indem das System durch interne Regelungsprozesse auf sie Einfluss nimmt. Das Teilsystem eines komplexen Systems, das den Regelungsmechanismus bildet, nennt die Systemtheorie allgemein Homöostat, das prototypische Beispiel ist der Thermostat.

Der Begriff Homöostase wurde im Zusammenhang mit lebenden Systemen geprägt, in denen meist viele Systemparameter einer Regelung unterliegen: pH-Wert, osmotischer Druck, Enzymkonzentrationen, Temperatur, Zellenzahl – um nur einige zu nennen.

Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Gleichgewichtszustand handelt es sich um einen stationären Zustand, dessen zeitliche Invarianz nicht die Folge äußerer Prozesse ist. Er ist eindeutig bestimmt durch die Werte einer endlichen Anzahl thermodynamischer Zustandsgrößen des Systems, wie Druck, Temperatur und Volumen (oder Molvolumen).

Nach der Gibbsschen Phasenregel ist der Gleichgewichtszustand eines physikalisch homogenen thermodynamischen Systems durch zwei Zustandsgrößen vollständig bestimmt. Bei konstanter Masse ist also z. B. der Druck eine Funktion von Temperatur und Volumen des Systems.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eugene M. Izhikevich: Equilibrium Artikel in Scholarpedia

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books Group, 2001; S. 15.