Benutzer:Ben-Oni/Axiomatische QFT

Die axiomatische Quantenfeldtheorie ist ein Forschungsbereich der mathematischen Physik.

Der Begriff beschreibt verschiedene Ansätze, die Struktur der Quantenfeldtheorie mit mathematischen Mitteln zu beschreiben. Dabei wird meist versucht, einen möchlichst kleinen Satz an Axiomen aufzustellen, aus denen die Eigenschaften der Quantenfeldtheorien folgen.

Frühe axiomatische Quantenfeldtheorie

Feldoperatoren

Die axiomatischen Beschreibungn der Quantenfeldtheorie basieren auf dem Heisenberg-Bild der Quantenmechanik, in dem die Zustände als raumzeitunabhängig betrachtet werden, während die Operatoren raumzeitabhängig sind. Die Quantenfelder werden also als raumzeitabhängige Feldoperatoren beschrieben.

Schon früh wurden hierbei zwei Probleme deutlich. Ein Feld kann Singularitäten besitzen, so dass eine Beschreibung als operatorwertige Funktion nicht angemessen ist. Außerdem sind die Erwartungswerte der Feldoperatoren nicht in allen Zuständen endlich.

Das erste Problem lässt sich lösen, indem die Feldoperatoren als operatorwertige Distributionen aufgefasst werden. Distributionen sind allgemeinere Objekte als Funktionen, die insbesondere Singularitäten aufweisen können. Ein Distributionsraum ist immer zu einem zugehörigen Funktionsraum, dem sogenannten Testfunktionenraum definiert, und bildet jede Testfuntion auf eine Zahl ab. In der Quantenfeldtheorie werden schnell abfallende Funktionen von Raum und Zeit als Testfunktionen gewählt.

Zur Lösung des zweiten Problems wird angenommen, dass die Feldoperatoren nur auf einer Teilmenge des Hilbertraums definiert sind, das heißt, dass die Erwartungswerte endlich sind. Diese Teilmenge muss ein dichter linearer Unterraum des Zustandsraums sein, so dass sich alle Erwartungswerte beliebig genau approximieren lassen. Die Operatoren werden dann als dicht definiert bezeichnet.

Die erste axiomatische Beschreibung von Quantenfeldtheorien, die diese Aspekte beinhaltete, wurde von Lars Gårding und Arthur Strong Wightman in Form der Gårding-Wightman-Axiome entwickelt.

Zustandsraum

Der Zustandsraum wird wie in der Quantenmechanik als Hilbertraum angenommen. In der Quantenfeldtheorie werden jedoch besondere Hilberträume, sogenannte Fockräume als Zustandsräume angenommen. Diese Hilberträume sind ähnlich dem Zustandsraum des quantenmechanischen harmonischen Oszillators und es lassen sich analog Auf- und Absteigeoperatoren definieren. Außerdem gibt es in Fockräumen einen eindeutigen Grundzustand.

Das skalare Feld wird durch die Klein-Gordon-Gleichung beschrieben, deren Lösungen denen des harmonischen Oszillators entsprechen. Man erhält eine Sammlung von harmonischen Oszillatoren mit den Frequenzen $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ beschrieben, wobei m die Masse und k der Impuls des Feldes ist. Da der Impulsbetrag jede positive reelle Zahl sein kann erhält man auf diese Weise unendlich viele Oszillatoren, aus denen das skalare Feld zusammengesetzt ist. Der Grundzustand oder das Vakuum des Fockraums ist der Zustand, in dem alle harmonischen Oszillatoren im Grundzustand sind. Alle anderen Zustände erhält man durch Anwendung von Produkten von Aufsteigeoperatoren auf das Vakuum.

N-Punkt-Funktionen

Wightman entwickelte die axiomatische Theorie weiter, indem er feststellte, dass sich eine Quantenfeldtheorie eindeutig durch ihre N-Punkt-Funktionen beschreiben lässt. Eine N-Punkt-Funktion ist der Erwartungswert des Produkts von N Feldoperatoren in einem Zustand des Fockraums. Diese Objekte sind also Distributionen in N Argumenten, sie bilden also N Testfunktionen auf eine Zahl ab. Aufgrund das Nuklearsatzes von Laurent Schwartz lässt sich jeder Distibution in N Argumenten eindeutig eine Distribution von Testfunktionen in N Variablen zuordnen, was die mathematische Behandlung erheblich vereinfacht.

Aus den Axiomen für die Feldoperatoren und den Zustandsraum folgerte Wightman einen Satz von Eigenschaften der N-Punkt-Funktionen. Werden diese Eigenschaften für N-Punkt-Funktionen vorausgesetzt, lässt sich daraus der Zustandsraum und die Feldoperatoren rekonstruieren. Die Eigenschaften die die N-Punkt-Funktionen dazu erfüllen müssen, werden als Wightman-Axiome bezeichnet. N-Punkt-Funktionen, die diese Axiome erfüllen, werden als Wightmanfunktionen bezeichnet, obwohl sie eigentlich Distributionen sind.

Ein Satz von Wightmanfunktionen bestimmt über den Rekonstruktionssatz eindeutig eine Quantenfeldtheorie. Damit ist es möglich, eine Quantenfeldtheorie ohne Angabe von Feldoperatoren oder eines Fockraums zu definieren.

Eichtheorien (hier richtig? Ggf. Aufteilung?)

Gupta-Bleuler, Morchio-Strocchi

Kausale Störungstheorie

Die bisher beschriebenen Ansätze können keine wechselwirkenden Quantenfeldtheorien beschreiben. Insbesondere die Ergebnisse der renormierten Störungstheorie können damit nicht reproduziert werden. Henri Epstein und Vladimir Jurko Glaser entwickelten 1973 mit der kausalen Störungstheorie ein Verfahren, das es ermöglichte, in mathematisch wohldefinierter Weise eine renormierte Störungstheorie für wechselwirkende Quantenfeldtheorien zu entwickeln. In ihrer usprünglichen Arbeit untersuchten sie nur spinlose, skalare Felder, doch inzwischen wurde ihre Ansatz auf andere Theorien, insbesondere auf Eichtheorien wie die Quantenelektrodynamik erweitert.

Algebraische Quantenfeldtheorie

Irving Ezra Segal hatte bereits in den späten 1940er Jahren die Vermutung aufgestellt, dass sich Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie mittels C*-Algebren beschrieben ließen. Eine genaue Formulierung gelang ihm jedoch nicht.

H. J. Bochers entdeckte 1961, dass den Wightmanfunktionen eine algebraische Struktur zugrunde liegt. Er konstruierte sogenannte Wightmanfunktionale, die aus Wightmanfunktionen für alle Argumentanzahlen N zusammengesetzt sind und formulierte für diese die Wightman-Axiome. Er entdeckte, dass die Wightmanfunktionale eine topologische *-Algebra bilden. Damit legte er den Grundstein für die Entwicklung einer rein algebraischen Beschreibung von Quantenfeldtheorien.

Rudolf Haag und Daniel Kastler untersuchten die algebraische Struktur der Quantenfeldtheorien weiter und formulierten 1964 die Haag-Kastler-Axiome für Netze von C*-Algebren. Sie definierten auch den Begriff des algebraischen Zustandes über einer C*-Algebra, der Linearformen auf der Algebra bezeichnet und den Begriff des Zustandes in einem Hilbertraum verallgemeinert. Mittels der GNS-Konstruktion lassen sich aus algebraischen Zuständen Darstellungen der C*-Algebren auf Hilberträumen konstruieren. Diese Darstellungen erfüllen die Gårding-Wightman-Axiome für Quantenfeldtheorien außer der Existenz eines Vakuums und der Forderung, dass der Zustandsraum ein Fockraum ist. Ein eindeutiges Vakuum ergibt sich für Zustände die eine Bestimmte Eigenschaft erfüllen und als reine Zustände bezeichnet werden, während sogenannte quasifreie Zustände eine Darstellung in einem Fockraum induzieren. Weitere bedeutende Arbeiten zur algebraischen Quantenfeldtheorie wurden von Huzihiro Araki geleistet.

Aus ihren Axiomen folgerten Haag und Kastler, dass Quantenfeldtheorien, deren zugehörige C*-Algebren isomorph sind, physikalisch äquivalent sind, also bei einer Folge von Messungen dieselben Ergebnisse liefern. Damit konnte erstmals gezeigt werden, dass auch Darstellungen von Quantenfeldtheorien, die nicht unitär äquivalent sind, physikalisch äquivalent sein können. Der Kernpunkt dieser Betrachtung ist das Lokalitätsaxiom, das von Borchers aus der Hilbertraumformulierung in die algebraische Quantenfeldtheorie überführt wurde.

Konstruktive Quantenfeldtheorie

Osterwalder, Schrader (freies euklidisches Pfadintegral ist gaußsches Maß) en:Schwinger function

Axiomatische S-Matrix-Theorie

Einer der ersten Erfolge axiomatischer Ansätze in der Quantenfeldtheorie war die LSZ-Reduktionsformel, die von Harry Lehmann, Kurt Symanzik und Wolfhart Zimmermann abgeleitet wurde. Diese Formel ermöglicht es, die S-Matrix auf zeitgeordnete oder kausale n-Punkt-Funktionen zurückzuführen.

Die axiomatische S-Matrix-Theorie verfolgte einen anderen Ansatzpunkt als die Arbeit von Wightman. Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Konstantin Mikhaĭlovich Polivanov und B. V. Medvedev vertraten die Auffassung, dass die S-Matrix die einzige observable Größe in einer Quantenfeldtheorie darstelle und die Quantenfeldtheorie daher über die S-Matrix definiert werden müsse.

Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten

en:Quantum field theory in curved spacetime

Ambiguität der Darstellungswahl

Vermutlich v.a. nach Wald (94)

Algebraischer Ansatz

Dimock-Axiome

Renormierung

freie Theorien: Hadamard-Bedingung, Radzikovski

perturbativ: Fredenhagen, Dütsch, Hollands, Wald (Verbindung zu Epstein-Glaser)

Topologische Quantenfeldtheorie

Ein neuerer axiomatischer Ansatz ist die Topologische Quantenfeldtheorie, die topologische Invarianten von Quantenfeldtheorien auf Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer Topologie untersucht. Da das Interesse den topologischen Invarianten gilt, betrachtet man Quantenfeldtheorien, in denen die n-Punkt-Funktionen nicht von der Metrik, sondern nur der topologischen Struktur des Raums abhängig sind. Ein bekanntes Beispiel für eine topologische Quantenfeldtheorie ist die Chern-Simons-Theorie, die zur Erklärung des gebrochenzahligen Quanten-Hall-Effekts benutzt wird.

Eine axiomatische Charakterisierung dieser Theorien stammt von Michael Francis Atiyah.

Literatur

• R. F. Streater, A. S. Wightman: PCT, Spin and Statistics, and all that, W. A. Benjamin, Inc. New York 1964
• N. Bogoliubov, A. Logunov, I. Todorov: Introduction to Axiomatic Quantum Field Theory, Benjamin Reading, Massachusetts, 1975
• H. Araki: Mathematical Theory of Quantum Fields, Oxford University Press, 1999