Heisenberg-Bild

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Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: |\psi_{\rm H}\rangle bzw. \hat A_{\rm H}(t)

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Schrödingerbild vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator \hat U(t) die Zeitentwicklung der Zustände:

|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle

\hat U^{\dagger}(t) ist der adjungierte Operator und durch die Unitarität gilt \hat U^{\dagger}(t)=\hat U(t)^{-1}.

Im Heisenbergbild dagegen steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren und die Zustände sind zeitunabhängig:

|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =|\psi _{\text{H}}\rangle

Der Erwartungswert a des Operators \hat A muss in allen Bildern gleich sein:

a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)\,|\hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)\rangle
a=\langle \psi _{\text{S}}(0)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\langle \psi _{\text{H}}|\hat{A}_{\text{H}}(t)|\psi _{\text{H}}\rangle

Der Operator \hat A_{\rm H}(t) im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator \hat A_{\rm S} (t) im Schrödinger-Bild:

\hat A_{\rm H}(t)=\hat U^{\dagger}(t)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U(t)

Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen der Operator  \hat A sowohl im Heisenberg-Bild, als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)={\partial \over \partial t}  \hat A_{\rm H}(t) +{i \over \hbar}[\hat H_{\rm H}(t)\mbox{,} \hat A_{\rm H}(t)] \; ,

wobei \left[\hat H_{\rm H}(t),\hat A_{\rm H}(t)\right] der Kommutator aus dem Hamilton-Operators \hat H_{\rm H}(t) und \hat A_{\rm H}(t) ist und {\partial \over \partial t}  \hat A_{\rm H}(t) als Abkürzung für U^{\dagger}(t) {\partial \over \partial t}  \hat A_{\rm S}(t) U(t) zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild \hat H_{\rm S} nicht von der Zeit ab, so gilt:

\hat H_{\rm H}(t) = \hat H_{\rm S}

Die Observable \hat A heißt Erhaltungsgröße, wenn

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)=0.

Gilt diese Bedingung, dann ist auch \langle A \rangle zeitunabhängig.

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