Heisenberg-Bild

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Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: bzw.

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Heisenbergbild steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren, die Zustände sind zeitunabhängig:

Im Schrödingerbild dagegen vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator die Zeitentwicklung der Zustände:

Darin ist der adjungierte Operator, und wegen der Unitarität gilt .

Der Erwartungswert a des Operators muss in allen Bildern gleich sein:

Der Operator im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator im Schrödinger-Bild:

Im Allgemeinen der Operator sowohl im Heisenberg-Bild als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

wobei

  • der Kommutator aus dem Hamilton-Operator und ist und
  • als Abkürzung für zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild nicht von der Zeit ab, so gilt:

Die Observable heißt Erhaltungsgröße, wenn

.

Gilt diese Bedingung, dann ist auch zeitunabhängig.