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- Spezialfall: totales Differenzial
- Verallgemeinerung: Differenzierbarkeit Mannigfaltigkeit
Die totale Ableitung oder Totalableitung ist in den mathematischen Gebieten der Analysis und der Differentialgeometrie die Verallgemeinerung der Ableitung von reellen Funktionen auf Funktionen (Abbildungen) zwischen höherdimensionalen Räumen.
Während die Ableitung
einer Funktion
an einer Stelle
eine Zahl ist, ist die totale Ableitung einer Abbildung
im Punkt
eine lineare Abbildung. Diese kann durch eine Matrix dargestellt werden, die Ableitungsmatrix, Jacobi-Matrix oder Fundamentalmatrix genannt wird.
Das Konzept der totalen Ableitungen kann auch auf unendlichdimensionale Räume (Fréchet-Ableitung) und auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden.
Für Funktionen
wird die Ableitung an der Stelle
in der Regel durch
![{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52261447ac7341be4acef43d88947664b97e6b56)
definiert, wobei
gilt bzw.
.
In dieser Form kann man dies nicht auf Abbildungen
übertragen, da man durch
nicht dividieren kann. Man verfolgt deshalb einen andern Weg.
Die Ableitung
beschreibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph im Punkt
.
Die Tangente selbst hat die Gleichung
![{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6d5e28ddb4b9d1d8c42a27bbb7cbe15c59c982)
sie ist also der Graph der linearen (affinen) Funktion
.
Diese Funktion approximiert die Funktion
im folgenden Sinn:
Man setzt
und betrachtet die Differenz zwischen der Funktion und der linearen Approximation
:
![{\displaystyle r(h)=f(x+h)-(f(x_{0})+f'(x_{0})h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae91a74c64bee03fbf9a37b225192590c047dde)
Dividiert man durch
und verwendet dann die Definition der Ableitung, so erhält man für den Quotienten:
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h}{h}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f'(x_{0})\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121b267a3dbeafbd536863d07286b406c0b20204)
Die Differenz
geht also für
selbst dann noch gegen 0, wenn man sie durch
dividiert.
Man sagt:
geht schneller gegen 0 als
.
Diese Beziehung gilt auch dann noch, wenn man den Betrag des Quotienten nimmt.
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|r(h)|}{|h|}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h|}{|h|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2462fafd33a4cb9c70a5a0ddd7c493b39454d471)
In dieser Form lässt sich der Begriff der Differenzierbarkeit auf Abbildungen
übertragen. In diesem Fall ist
ein Vektor in
,
ein Vektor in
und
eine lineare Abbildung von
nach
.
Gegeben seien eine offene Teilmenge
, ein Punkt
und eine Abbildung
.
Die Abbildung
heißt im Punkt
differenzierbar, falls eine lineare Abbildung
existiert, so dass
![{\displaystyle \lim _{|h|\to 0}{\frac {|F(x_{0}+h)-F(x_{0})-L(h)|}{|h|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545577e28d62b37e182d05c4aed3aa8d70da733c)
gilt.
Dabei bezeichnet
einen Vektor in
. Die Betragsstriche bezeichnen die Norm in
bzw.
. Da im
bzw.
alle Normen äquivalent sind, spielt es keine Rolle, welche Norm gewählt wird.
Falls so eine lineare Abbildung
existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Man nennt sie die totale Ableitung, das totale Differential oder einfach nur die Ableitung von
im Punkt
und schreibt dafür
,
,
oder
.